Inhaltsverzeichnis - Automaten und Formale Sprachen

Beispiel: Das Wort 010101 besitzt in der Grammatik aus 3.1.3 die zwei Linksableitungen
S ⇒ SS ⇒ 01S ⇒ 01SS ⇒ 0101S ⇒ 010101,
S ⇒ SS ⇒ SSS ⇒ 01SS ⇒ 0101S ⇒ 010101,
entsprechend den beiden folgenden Ableitungsbäumen:
S
S
S
S
S
S
0
1
S
S
S
S
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
Beweis von 3.1.7:
Ein Ableitungsbaum für w sei gegeben. Man überlegt sich nun, wieder durch Induktion,
daß die Konstruktion aus 3.1.5 ”
(ii) ⇒ (i)“ eine Linksableitung für w ergibt.
Sei nun umgekehrt eine Linksableitung für w ∈ Σ ∗ gegeben. Wie in 3.1.5 (i) ⇒ (ii)“
”
erzeugen wir einen Ableitungsbaum für w. Für diese Konstruktion gilt jedoch folgendes:
Verschiedenen Linksableitungen entsprechen verschiedene Ableitungsbäume. (Betrachte
den ersten Ableitungsschritt, in dem sich die Linksableitungen unterscheiden. Es müssen
auf dieselbe Variable verschiedene Produktionen angewendet werden; dies schlägt sich
direkt in einem Unterschied in den Syntaxbäumen nieder.)
□
(Um diesen Beweis zu illustrieren, wende die Konstruktionen aus 3.1.5 auf das nach Bemerkung
3.1.7 angegebene Beispiel an.)
Im allgemeinen ist es für die Syntaxanalyse (Konstruktion eines Syntaxbaumes zu einem
vorgelegten Wort w ∈ L(G)), wie sie z. B. in Übersetzern geleistet wird, von Vorteil, wenn
jedes Wort nur einen Syntaxbaum, also auch nur eine Linksableitung besitzt.
3.1.8 Definition (a) Eine kontextfreie Grammatik G heißt mehrdeutig, wenn es ein
Wort w ∈ L(G) gibt, das zwei verschiedene Ableitungsbäume besitzt.
(b) Eine Sprache L ∈ L 2 heißt inhärent mehrdeutig, wenn jede kontextfreie Grammatik
G mit L = L(G) mehrdeutig ist.
3.1.9 Beispiel (a) Obgleich unsere Grammatik für L bal≠ε aus Beispiel 3.1.3 mehrdeutig
ist, ist die Sprache selbst nicht inhärent mehrdeutig. Wir bemerken (ohne Beweis), daß
folgendes eine eindeutige Grammatik für dieselbe Sprache ist: G ′ = (V ′ , Σ, S, P ′ ), wo
V ′ = {S, A} und wo P ′ folgende Produktionen hat:
S → AS | A , A → 01 | 0S1 .
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