Inhaltsverzeichnis - Automaten und Formale Sprachen

4.5.6 Lemma Wenn M ein DPDA ist, dann existiert ein M ′ für dieselbe Sprache
derart, daß M ′ jede Eingabe w bis zum letzten Buchstaben liest.
Beweisidee: Ein DPDA kann durch Hinzunehmen eines endlichen Schrittzählers im
Zustand so modifiziert werden, daß ohne Lesen eines Zeichens:
(i) sich wiederholende Konfigurationen
(ii) ein unendlich wachsender Keller
erkannt wird. Dann wird erzwungen, daß die Resteingabe gelesen wird.
□
4.5.7 Lemma Ist L deterministisch kontextfrei, so auch ¯L.
Beweis:
Idee:
L = L M für einen DPDA, der (nach 4.5.6) alle Eingaben ganz liest.
F und Q − F vertauschen (wie bei DFA’s)
Problem: M könnte nach dem Lesen von w ∈ Σ ∗ einen Zustand q 1 ∈ F erreichen (also
w ∈ L M ), dann aber in ε-Übergängen einen anderen Zustand q 2 /∈ F erreichen. Würde
man F und Q − F einfach vertauschen, würde auch der neue Automat w akzeptieren —
fälschlicherweise.
Lösung:
Beobachten, ob bisher während der ε-Übergänge ein F / ¯F -Zustand auftauchte.
Verhalten bei w /∈ L M :
M:
M ′ :
a lesen
−→ q 1 ∈ ¯F
ε
→ q 2 ∈ ¯F
a lesen
−→ verw. → verw. → verw.
ε
→ q 3 ∈ ¯F −→ kein ε Übergang möglich
ε
→ akz.
Außer gegen Komplement sind deterministische kontextfreie Sprachen gegen fast nichts
abgeschlossen.
4.5.8 Behauptung Es gibt kontextfreie Sprachen, die nicht deterministisch kontextfrei
sind.
Beweis: L = {a i b j c k | i ≠ j ∨ j ≠ k} ist kontextfrei.
Wäre L deterministisch kontextfrei, wäre ¯L nach 4.5.7 auch deterministisch kontextfrei,
also kontextfrei.
¯L ist aber nicht kontextfrei, sonst wäre ¯L ∩ {a} ∗ {b} ∗ {c} ∗ = {a n b n c n | n ≥ 0} kontextfrei,
was nicht stimmt.
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4.5.9 Behauptung Die deterministisch kontextfreien Sprachen sind nicht gegen ∪ und
∩ abgeschlossen.
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