Inhaltsverzeichnis - Automaten und Formale Sprachen

(γ) Ist v ein Knoten, der mit A ∈ V markiert ist, und ist v kein Blatt, so gilt:
(i) die Söhne v 1 , . . . , v r von v sind mit X 1 , . . . , X r ∈ Σ ∪ V markiert, und
A → X 1 · · · X r ist Produktion in P
oder
(ii) v hat genau einen Sohn v ′ , der mit ε markiert ist, und A → ε ist Produktion in P .
(b) Ist T ein X-Ableitungsbaum, so bezeichnen wir mit α(T ) das Wort über V ∪ Σ, das
sich beim Lesen der Blätter von T von links nach rechts ergibt.
(c) S-Ableitungsbäume heißen auch einfach Ableitungsbäume.
Beispiel: α(T ) ist für jeden der zwei obigen Ableitungsbäume gleich dem Terminalwort
01001101. — X-Ableitungsbäume werden schematisch so gezeichnet:
X
T
α(Τ)
Wir halten fest, daß Ableitungsbäume tatsächlich dasselbe leisten wie Ableitungsfolgen.
3.1.5 Lemma Sei G kontextfreie Grammatik. Dann sind für X ∈ V ∪ Σ und α ∈
(V ∪ Σ) ∗ äquivalent:
(i) X ∗ ⇒ α
und
(ii) α = α(T ) für einen X-Ableitungsbaum T .
Insbesondere gilt: α ist Satzform von G genau dann wenn es einen (S-)Ableitungsbaum
T mit α(T ) = α gibt; und w ∈ L(G) gilt genau dann wenn w ∈ Σ ∗ und es einen
(S-)Ableitungsbaum T mit α(T ) = w gibt.
Beweis
” (i) ⇒ (ii)“: Sei X = α 0 ⇒ · · · ⇒ α r = α Ableitung in G. Wir präzisieren die in
3.1.3 intuitiv angewandte Methode, zu einer Ableitung einen Baum zu konstruieren, und
gehen dabei induktiv vor. Die Wurzel ist ein Knoten, mit X = α 0 markiert. Sei nun 0 <
s ≤ r. Als Induktionsvoraussetzung nehmen wir an, wir hätten einen X-Ableitungsbaum
T s−1 für α s−1 = X 1 · · · X t , d. h. X 1 , . . . , X t sind die Einträge an den Blättern von T s−1 . Es
gibt dann t ′ ∈ {1, . . . , t} und Y 1 · · · Y u derart, daß X t ′ → Y 1 · · · Y u Produktion ist und
α s−1 = X 1 · · · X t ′ · · · X t ⇒ X 1 · · · X t ′ −1Y 1 · · · Y u X t ′ +1 · · · X t = α s
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