Inhaltsverzeichnis - Automaten und Formale Sprachen

B.10 Definition (Hüllenbildung)
Es sei A eine Menge, R ⊆ Seq(A) + × A sei eine Relation, B ⊆ A sei gegeben.
(a) C ⊆ A heißt R-abgeschlossen, wenn für alle ((a 1 , . . . , a l ), b) ∈ R gilt:
a 1 , . . . , a l ∈ C ⇒ b ∈ C.
(b) Γ R (B) := ⋂ {C | B ⊆ C ⊆ A ∧ C ist R-abgeschlossen} heißt der Abschluß von B
unter R. Dies ist die kleinste Teilmenge von A, die B enthält und R-abgeschlossen
ist.
Veranschaulichung: ((a 1 , . . . , a l ), b) ∈ R bedeutet, daß man aus den Objekten a 1 ,
. . . , a l das neue Objekt b ”
bauen“ kann. Γ R (B) soll die Menge genau der Objekte sein,
die man bauen kann, wenn man mit den Objekten der Menge B startet. Als erstes wollen
wir festhalten, daß die oben betrachteten Beispiele in unseren Rahmen passen. Zunächst
wollen wir die Menge der binären Bäume als Menge von Wörtern konstruieren. (Diese
Repräsentation von Bäumen liegt natürlich recht weit weg von der anschaulichen, graphorientierten.)
Wir repräsentieren Knoten als Binärzahlen:
X = {[bin(0)], [bin(1)], [bin(2)], . . .}
ist die Menge aller Knoten. Als weitere Buchstaben verwenden wir: Λ (leerer Baum), (,
). Unser Alphabet ist also Σ = {0, 1, [, ], (, ), Λ}.
Für ein Wort w ∈ Σ ∗ sei
X(w) := {x | x ist Knoten, x Teilwort von w},
die Menge der in w erwähnten Knoten. Etwa:
X([0]()[10][01[10][)111) = {[10], [0]}.
Man sieht, daß diese Menge wohldefiniert ist.
B.11 Beispiel (Nochmal: Binäre Bäume)
Setze A := Σ ∗ ; setze B := {Λ}; setze
R := {((w 1 , w 2 ), (w 1 xw 2 )) | w 1 , w 2 ∈ A, x ∈ X; X(w 1 ), X(w 2 ), {x} sind disjunkt}.
Dann definieren wir: Γ R (B) heißt die Menge der Binärbäume über der Knotenmenge X;
ein w ∈ A ist ein Binärbaum genau dann, wenn w ∈ Γ R (B).
Illustration: Den anschaulichen Binärbäumen
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