Inhaltsverzeichnis - Automaten und Formale Sprachen

(A 0 ) b(A 1 ) b(A 2 ) val b ((A 0 ∧ A 1 )) val b ((A 1 ∨ A 2 )) val b (((A 0 ∧ A 1 ) ↔ (A 1 ∨ A 2 )))
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Im Prinzip kann man für jede alF φ (und ihre Komponentenformeln) eine solche Wahrheitstafel
aufstellen. Wenn man ein wenig Logik kennt, weiß man, daß die Zeichen ”
→“
und ”
↔“ eigentlich nicht benötigt werden, ja daß man sogar mit den beiden Zeichen ∧
und ¬ auskommt und dennoch ”
dieselben Funktionen“ b ↦→ val b (φ) beschreiben kann.
Dies kann man wie folgt präzisieren.
Wir beginnen mit einer weiteren induktiven Definition.
B.4 Definition Die Menge der {∧, ¬}-Formeln ist wie folgt definiert:
(i) Für jedes i ∈ IN ist A i eine {∧, ¬}-Formel.
(ii)
(α) Ist φ eine {∧, ¬}-Formel, dann auch (¬φ).
(β) Sind φ und ψ {∧, ¬}-Formeln, dann auch (φ ∧ ψ).
(iii) Nur was von (i) und (ii) erfaßt ist, ist {∧, ¬}-Formel.
Beispiele: Die Ausdrücke A 0 , (¬A 0 ), (¬(¬A 1 )), ((¬A 1 ) ∧ A 3 ), (¬((¬A 1 ) ∧ (¬A 2 ))), usw.
sind {∧, ¬}-Formeln, nicht aber (A 1 → (¬A 2 )) und (A 0 ∨ A 1 ).
Die Beschränkung der aussagenlogischen Verknüpfungen beschränkt nicht die Ausdruckskraft
der Formelmenge:
B.5 Satz Für jede alF φ gilt folgendes:
E(φ): Es gibt eine {∧, ¬}-Formel φ ′ derart, daß für jede Belegung b gilt:
val b (φ) = val b (φ ′ ).
(Man sagt: φ ′ ist ” äquivalent“ zu φ.)
Beispiel: Zu φ = (A 0 ↔ (¬A 2 )) ist die Formel φ ′ = (¬(A 0 ∧ A 2 )) ∧ (¬((¬A 0 ) ∧ (¬A 2 )))
äquivalent, wie man durch Aufstellen der Wahrheitstafel verifiziert:
b(A 0 ) b(A 2 ) val b (φ) val b (¬(A 0 ∧ A 2 )) val b (¬((¬A 0 ) ∧ (¬A 2 ))) val b (φ ′ )
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