Inhaltsverzeichnis - Automaten und Formale Sprachen

das Paar in der Übergangsfunktion δ von M, das im ersten Schritt verwendet wird. Die
letzten k − 1 Schritte der betrachteten Berechnung von M führen also (q 1 , w ′ , A 1 · · · A m )
in (p, ε, ε) über. Wir teilen diese Berechnung in m Phasen (t 0 , t 1 ], . . . , (t m−1 , t m ] ein, wobei
0 = t 0 < t 1 < · · · < t m die Schritte der Rechnung von M sind, die durch folgende
Ereignisse gekennzeichnet sind:
t i ist der Schritt von M, nach dem erstmals A i+1 · · · A m die Kellerinschrift ist, 1 ≤ i ≤ m.
Offensichtlich dauert jede dieser Phasen < k Schritte, Mit w i , 1 ≤ i ≤ n, bezeichnen wir
das Teilwort von w, das während Phase (t i−1 , t i ] von M gelesen wird.
Offenbar gilt dann w ′ = w 1 · · · w m . Während Phase i spielt sich also folgender Konfigurationsübergang
ab, für gewisse q i ∈ Q, i = 2, . . . , m:
(q i , w i · · · w m , A i · · · A m ) ⊢ M · · · ⊢ M (q i+1 , w i+1 · · · w m , A i+1 · · · A m ).
Da während dieser Rechnung der Teil A i+1 · · · A m des Kellers nicht berührt, auch nicht
gelesen wird, ist auch folgendes eine legale (Teil-)Rechnung des PDA M, mit < k Schritten:
Nach Induktionsvoraussetzung folgt
Da nach Definition von G auch
(q i , w i , A i ) ⊢ M · · · ⊢ M (q i+1 , ε, ε).
[q i , A i , q i+1 ]
∗
⇒ G w i , für 1 ≤ i ≤ m.
A ⇒ G a[q 1 , A 1 , q 2 ] · · · [q m , A m , q m+1 ]
gilt, haben wir (durch Betrachten des Ableitungsbaums):
A ∗ ⇒ G aw 1 · · · w m = w.
Damit ist der Beweis der Behauptung, und auch der von Satz 4.4.1, beendet.
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4.5 Deterministische Kellerautomaten und ihre
Sprachen
Wir betrachten hier eine Teilklasse der PDA’s, nämlich deterministische Kellerautomaten
(DPDA’s). Diese zeichnen sich dadurch aus, daß in jeder Konfiguration höchstens ein
nächster Zug möglich ist. Da man auch keine Wahlmöglichkeit zwischen ε-Zug und Lesen
eines Symbols vom Eingabeband lassen möchte, verlangt man:
(4.1) |δ(q, a, A)| + |δ(q, ε, A)| ≤ 1
für q ∈ Q, a ∈ Σ, A ∈ Γ. Der Berechnungsbaum degeneriert zu einem Weg. Weiterhin
muß man (aus technischen Gründen) einen etwas anderen Akzeptierungsmodus wählen.
Der DPDA hat eine Menge F ⊆ Q akzeptierender Endzustände, und M akzeptiert w ∈ Σ ∗ ,
wenn nach dem (deterministischen) Lesen von w ein akzeptierender Zustand erreicht wird.
Die formale Definition lautet wie folgt:
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