Inhaltsverzeichnis - Automaten und Formale Sprachen

enutzen. Dabei gehen wir nach demselben Schema vor wie in Kapitel 1 (vor 1.4.2). Wir
betrachten einige Beispiele.
3.3.3 Behauptung Die folgenden Sprachen sind nicht kontextfrei:
(a) L 1 = {a m b m c m | m ≥ 1}.
(b) L 2 = {a m b k c m d k | m, k ≥ 1}.
(c) L 3 = {0 n2 | n ≥ 1}.
Beweis von 3.3.3:
(a) Beweis indirekt. Angenommen, L 1 wäre kontextfrei. Dann gibt es dazu ein n ≥ 1 mit
den Eigenschaften wie im Pumping-Lemma 3.3.1 angegeben. Wähle nun z = a n b n c n ∈ L 1 .
Nach 3.3.1 gibt es u, v, w, x, y ∈ Σ ∗ derart daß
(i) a n b n c n = uvwxy,
(ii) |vwx| ≤ n,
(iii) |v| + |x| ≥ 1,
(iv) ∀i ∈ IN : uv i wx i y ∈ L 1 .
Wegen (i), (ii) haben wir, daß vwx entweder ein Teilwort von a n b n oder ein Teilwort von
b n c n sein muß (vwx kann nicht ”
b n echt überspannen“). Sei z. B. vwx Teilwort von a n b n
(im Fall b n c n argumentiert man analog). Dann ist im Wort uv 0 wx 0 y die Zahl der a’s und
b’s zusammen gleich 2n − |v| − |x| < 2n (wegen (iii)), jedoch die Zahl der c’s gleich n.
Also ist uv 0 wx 0 y ∉ L 1 . Dies widerspricht aber (iv).
(b) Beweis indirekt. Angenommen, L 2 wäre kontextfrei. Dann gibt es dazu ein n ≥ 1 mit
den Eigenschaften wie im Pumping-Lemma 3.3.1 angegeben. Wähle nun z = a n b n c n d n ∈
L 2 . Nach 3.3.1 gibt es u, v, w, x, y ∈ Σ ∗ derart daß
(i) a n b n c n d n = uvwxy,
(ii) |vwx| ≤ n,
(iii) |v| + |x| ≥ 1,
(iv) ∀i ∈ IN : uv i wx i y ∈ L 2 .
Wegen (i) und (ii) haben wir, daß vwx entweder Teilwort von a n b n oder Teilwort von b n c n
oder Teilwort von c n d n sein muß.
1. Fall: vwx Teilwort von a n b n . Dann ist im Wort z 0 := uv 0 wx 0 y die Zahl der a’s und b’s
zusammen gleich 2n−|v|−|x| < 2n (wegen (iii)), aber die Zahl der c’s und d’s zusammmen
gleich 2n. Also ist z 0 = uv 0 wx 0 y ∉ L 2 . Dies widerspricht (iv).
2. Fall: vwx Teilwort von b n c n . Argumentiere genauso — spiele die Gesamtzahl der b’s
und c’s in z 0 gegen die der a’s und d’s aus.
3. Fall: vwx Teilwort von c n d n . Analog.
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