Inhaltsverzeichnis - Automaten und Formale Sprachen

Auf die Klasse L 0 kommen wir später und in der Vorlesung ”
Algorithmentheorie“ zurück.
Es wird sich herausstellen, daß sie genau die überhaupt durch einen Kalkül beschreibbaren
Sprachen enthält (die ”
rekursiv aufzählbaren“ Sprachen).
Wir wenden uns nun einem eingeschränkten Grammatiktyp zu. Dabei darf in einem Ableitungsschritt
immer nur eine Variable A ∈ V durch ein nichtleeres Wort ersetzt werden.
Man hat aber die Möglichkeit, dies auszuschließen, wenn A nicht in einem vorgeschriebenen
Teilwort vorkommt (dem ”
Kontext“).
2.1.5 Definition (a) Sei G = (V, Σ, S, P ) Grammatik. Eine Produktion l → r heißt
kontextsensitiv, wenn l = αAγ, r = αβγ, wobei A ∈ V ist, α, β, γ ∈ (V ∪ Σ) ∗ sind und
|β| ≥ 1.
( ”
Man darf A durch das nichtleere Wort β ersetzen, aber nur, wenn A im Kontext α..γ
steht.“)
Um Mißverständnisse auszuschließen: Auch A → β mit |β| ≥ 1 ist eine kontextsensitive
Produktion (mit α = γ = ε ). Die eigentlich wesentliche Eigenschaft hier ist die ”
Nicht-
Verkürzung“: Es gilt stets |l| ≤ |r|.
(b) Die Grammatik G = (V, Σ, S, P ) heißt kontextsensitiv, wenn entweder alle Produktionen
von G kontextsensitiv sind oder alle Produktionen von G kontextsensitiv sind
außer der folgenden: S → ε, und S nie auf der rechten Seite einer Produktion vorkommt.
Kontextsensitive Grammatiken heißen auch Chomsky-1-Grammatiken oder Typ-
1-Grammatiken.
(c) L 1 ist die Klasse aller Sprachen L, für die gilt: L = L(G) für eine kontextsensitive
Grammatik G.
Auch L 1 wird später nochmals diskutiert. Klar ist: L 1 ⊆ L 0 .
Auch wenn es auf den ersten Blick nicht so aussieht, kann man die Grammatik aus Beispiel
2.1.3 zu einer kontextsensitiven Grammatik umbauen. Also: {a 2i | i ≥ 1} ∈ L 1 . (Ohne
Beweis.)
Die nächste Definition ist fundamental für den Rest der Vorlesung.
2.1.6 Definition (a) Sei G eine Grammatik. Eine Produktion l → r heißt kontextfrei,
wenn l ∈ V (und r ∈ (V ∪ Σ) ∗ beliebig) ist. Eine kontextfreie Produktion hat also das
Format A → α, A ∈ V , α ∈ (V ∪ Σ) ∗ .
(Beachte: Kontextfreie Produktionen, deren rechte Seite nicht ε ist, sind ein Spezialfall
von kontextsensitiven Produktionen. Man kann l = A durch r ersetzen, ganz egal wo und
in welchem Wort A vorkommt. Erst hier wird der Grund für die Bezeichnung ”
Variable“
richtig klar: für jede Variable kann (und muß) etwas anderes eingesetzt werden, damit
sich schließlich ein Wort aus Terminalzeichen ergibt.)
(b) Eine Grammatik G heißt kontextfrei, wenn alle ihre Produktionen kontextfrei sind.
Kontextfreie Grammatiken heißen Chomsky-2-Grammatiken oder Typ-2-Grammatiken.
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