Inhaltsverzeichnis - Automaten und Formale Sprachen

Aus der Definition von {∧, ¬}-Formeln folgt, daß jede {∧, ¬}-Formel φ ′ auch eine alF ist,
daß also val b (φ ′ ) definiert ist. Der Satz wird mit einer Technik bewiesen, die für mittels
einer induktiven Definition konstruierte Mengen typisch ist.
Beweis
Durch Induktion über den Aufbau von φ“:
”
(i) Induktionsanfang: Wenn φ = A i für ein i ∈ IN, wählen wir φ ′
natürlich val b (φ) = b(A i ) = val b (φ ′ ), für alle Belegungen b.
= φ. Dann ist
(ii) Induktionsschritt
(α) Wenn φ = (¬ψ) ist, dann gibt es nach Induktionsvoraussetzung eine {∧, ¬}-
Formel, ψ ′ mit val b (ψ) = val b (ψ ′ ), für alle Belegungen b.
Wir wählen φ ′ = (¬ψ ′ ). Offenbar ist φ ′ {∧, ¬}-Formel und val b (φ ′ ) = 1 −
val b (ψ ′ ) = 1 − val b (ψ) = val b (φ) für alle Belegungen b.
(β) Wenn φ = (ψ ∧ ϑ) oder φ = (ψ ∨ ϑ) oder φ = (ψ → ϑ) oder φ = (ψ ↔ ϑ) ist,
dann gibt es nach Induktionsvoraussetzung {∧, ¬}-Formeln ψ ′ und ϑ ′ mit
val b (ψ) = val b (ψ ′ ) und val b (ϑ) = val b (ϑ ′ ) für alle Belegungen b.
Wir wählen φ ′ wie folgt:
Falls φ = (ψ ∧ ϑ) : φ ′ = (ψ ′ ∧ ϑ ′ )
Falls φ = (ψ ∨ ϑ) : φ ′ = (¬((¬ψ ′ ) ∧ (¬ϑ ′ )))
Falls φ = (ψ → ϑ) : φ ′ = (¬(ψ ′ ∧ (¬ϑ ′ )))
Falls φ = (ψ ↔ ϑ) : φ ′ = ((¬(ψ ′ ∧ (¬ϑ ′ ))) ∧ (¬(ϑ ′ ∧ (¬ψ ′ )))) .
Weil für beliebige Wahrheitswerte u[= val b (ψ) = val b (ψ ′ )] und v[= val b (ϑ) =
val b (ϑ ′ )] gilt:
u · v = u · v
max{u, v} = 1 − (1 − u) · (1 − v)
max{(1 − u), v} = 1 − (u · (1 − v))
(1 − u · v) + (1 − (1 − u) · (1 − v)) = (1 − u · (1 − v)) · (1 − v · (1 − u))
folgt in allen vier Fällen, daß val b (φ ′ ) = val b (φ) für alle Belegungen b ist.
□
Diese allgemeine Konstruktion liefert für die Beispielformel φ = (A 0 ↔ (¬A 2 )) die {∧, ¬}-
Formel φ ′ = ((¬(A 0 ∧ (¬(¬A 2 )))) ∧ (¬((¬A 2 ) ∧ (¬A 0 )))).
In dem eben vorgestellten Beispiel finden sich die folgenden Muster, die bei der Verwendung
von induktiven Definitionen (bzw. rekursiven Konstruktionen) immer wieder
auftauchen. Für die Definition der Formelmenge selbst:
(i) Basisobjekte;
(ii) Vorschriften, wie aus gegebenen Objekten neue, zusammengesetzte zu gewinnen
sind;
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