Inhaltsverzeichnis - Automaten und Formale Sprachen

Also: V = {S, /c, $, A, B, C}, Σ = {a}, und die Produktionsmenge P enthält folgende
Paare:
(1) S → /cAa$
(2) Aaa → aaAa
(3) Aa$ → aaB$
(4) aB → Ba
(5) /cB → /cA
(6) Aa$ → aaC
(7) aC → Ca
(8) /cC → ε
Um in einem Ableitungsschritt ulv ⇒ urv anzudeuten, welche Produktion auf welches
Teilwort angewandt wird, unterstreichen wir l und schreiben die Nummer der Produktion
auf den Pfeil.
Beispiele: A/caAaBa (4)
⇒
$$AaaB (2)
⇒
$$AaaB (4)
⇒
a/caABaa
$$aaAaB
$$AaBa
Man erkennt: Auch ”
unsinnige“ Ableitungsschritte sind definiert, und die Ableitungsrelation
ist nichtdeterministisch. Die für uns interessanten Ableitungen sind nur die, die mit
S beginnen:
S (1)
⇒ /cAa$ (6)
⇒ /caaC (7)
⇒ /caCa (7)
⇒ /cCaa (8)
⇒ aa.
S (1)
⇒ /cAa$ (3)
⇒ /caaB$ (4)
⇒ /caBa$ (4)
⇒ /cBaa$ (5)
⇒
⇒ /cAaa$ (2)
⇒ /caaAa$ (6)
⇒ /caaaaC (7)
⇒ /caaaCa (7)
⇒ · · · (7)
⇒ /cCaaaa (8)
⇒ aaaa.
Man sieht intuitiv, daß alle Folgen a j , die (aus S) ableitbar sind, die Form a 2s , s ≥ 1,
haben, und daß jede dieser Folgen ableitbar ist. Also: L(G) = {w ∈ {a} ∗ | S ∗ ⇒ w} =
{a 2s | s ≥ 1}. (Der Beweis dieser Aussage ist nur mühsam, nicht tief.)
Grammatiken in der in 2.1.2 angegebenen allgemeinen Form heißen auch
Chomsky-0-Grammatiken, Typ-0-Grammatiken oder Semi-Thue-Systeme. 2
2.1.4 Definition Mit L 0 bezeichnen wir die Klasse aller Sprachen L, für die es eine
Typ-0-Grammatik G mit L = L(G) gibt.
2 A. Thue war Mathematiker, der um 1914 Regelsysteme zur Manipulation von Zeichenreihen, sog.
Thue-Systeme, untersuchte. Seine Regeln waren symmetrisch (l → r impliziert r → l), das ”
Semi“ drückt
aus, daß unsere Produktionen gerichtet sind.
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