Inhaltsverzeichnis - Automaten und Formale Sprachen

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T: S A |V| A 2 |V|+1 Knoten A 1 A 0 z Da es nur |V | Variable gibt, müssen zwei der A i ’s gleich sein. Wir haben folgende Situation (die doppelt vorkommende Variable wird A genannt): T: S steht fuer einen Teilweg in T A A
T: S T : 1 A T : 2 A u v w x y Diese beiden Teilbäume teilen z = α(T ) in 5 Teile (von denen manche leer sein können): u := der Inhalt der Blätter von T links von T 1 v := der Inhalt der Blätter von T 1 links von T 2 w := α(T 2 ) x := der Inhalt der Blätter von T 1 rechts von T 2 y := der Inhalt der Blätter von T rechts von T 1 . Folgendes sieht man sofort: (i) z = uvwxy. (ii) |vwx| ≤ n. (Denn: vwx = α(T 2 ), also |vwx| = #Blätter von T 1 . Weil wir ursprünglich einen Weg maximaler Länge in T gewählt hatten, hat der längste Weg in T 1 höchstens |V | + 1 Knoten, die mit Variablen markiert sind. Nach obiger Überlegung gilt dann |α(T 1 )| ≤ 2 (|V |+1)−1 = n.) (iii) |v| + |x| ≥ 1. (Dies gilt, weil nach Konstruktion T 2 echter Teilbaum von T 1 ist, und weil es in der Chomsky-Normalform im Inneren des Baumes nur Knoten von Grad 2 und keine ε- Produktionen gibt.) Es bleibt (iv) zu zeigen: Die Idee ist dabei, daß man den Teil von T 1 , der nicht auch in T 2 ist, beliebig oft zwischen den Baum T (ohne T 1 ) und T 2 einfügen kann und daraus stets einen legalen Ableitungsbaum erhält. Also: 95
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Inhaltsverzeichnis 0 Vorbemerkungen
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Kapitel 0 Vorbemerkungen 0.1 Grundb
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(c) Ein ASCII-File ist ein Wort üb
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werden als Beschreibungsform (Spezi
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Weiter sei L ∗ := ⋃ {L i | i
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sobald der letzte Buchstabe a n gel
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1.1.3 Beispiel Wir beschreiben eine
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Als graphische Darstellung des Auto
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1.1.8 Satz (a) Die Sprache ∅ ist
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(e) Nach Lemma 1.1.7 ist es möglic
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(b) Wir definieren ˆδ : Q × Σ
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aus v keine Kante mit Markierung a
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und, für B ∈ Q ′ , a ∈ Σ :
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Konkatenation: L 1 , L 2 → L 1 L
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1.3.3 Satz Ist M ein NFA, so gibt e
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L(i, k, k)L(k, k, k) ∗ L(k, j, k)
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Beispiel: ε 1 1 ε Start 0 ε 2 ε
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1.3.8 Satz Sei Σ ein Alphabet. Ist
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Abbildung 1.7: r = r 1 + r 2 : Aus
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( Aufpumpen“ heißt aus x = uvw d
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1.4.2 Behauptung Die folgenden Spra
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Für w = b 1 · · · b m ∈ Σ
Seite 45 und 46: 1.5.6 Definition Σ sei ein Alphabe
Seite 47 und 48: 1.6.1 Satz Es gibt effiziente (d. h
Seite 49 und 50: 1.7.2 Bemerkung (a) Zu M definieren
Seite 51 und 52: Ist ∼ eine Äquivalenzrelation, s
Seite 53 und 54: Damit ergibt sich mit Definition 1.
Seite 55 und 56: Anmerkung: Wenn man etwas genauer h
Seite 57 und 58: K 2 = Q − F = {2, 4, 7, 9} Markie
Seite 59 und 60: { } ˜F = {K i | K i ⊆ F } = {0,
Seite 61 und 62: Tabelle für 〈4〉: q 3 5 a 6 〈
Seite 63 und 64: Beispiele: (Die ” trivialen“ Ä
Seite 65 und 66: Beweis ” ⇒“: L = L M für DFA
Seite 67 und 68: wird gelesen als: ” α ′ ist au
Seite 69 und 70: Also: V = {S, /c, $, A, B, C}, Σ =
Seite 71 und 72: (c) L 2 ist die Klasse aller Sprach
Seite 73 und 74: Beweis ” ⇒“: Sei L = L M für
Seite 75 und 76: M R : Start 0,1 0 0,1 C B A 0,1 M
Seite 77 und 78: Wir zeigen: L(G) = {w ∈ Σ ∗ |
Seite 79 und 80: S S S 0 1 S S 0 S 1 0 1 0 1 Die inn
Seite 81 und 82: der nächste Ableitungsschritt ist.
Seite 83 und 84: Beispiel: Das Wort 010101 besitzt i
Seite 85 und 86: daß L(G) = L(G ′′ ). Man kann
Seite 87 und 88: Um das einzusehen, betrachte man Ab
Seite 89 und 90: Dabei ist α(T A ) = α(T B )α(T C
Seite 91 und 92: S D^ A B D 0 A D 1 0 D 0 1 0 für G
Seite 93 und 94: Die Aktion in Phase 1 wird so lange
Seite 95: 3.3 Das Pumping-Lemma für kontextf
Seite 99 und 100: 3.3.2 Beispiel Aus der Grammatik in
Seite 101 und 102: enutzen. Dabei gehen wir nach demse
Seite 103 und 104: hat m Blätter. Die Wurzel muß zwe
Seite 105 und 106: i 1 (a) 4 (b) 2 (a) 3 (b) 3 (a) 2 (
Seite 107 und 108: Kapitel 4 Kellerautomaten In diesem
Seite 109 und 110: Die hier betrachteten Kellerautomat
Seite 111 und 112: (d) M akzeptiert w ∈ Σ ∗ , fal
Seite 113 und 114: Eingabe # q a 1 a 2 a n Keller unte
Seite 115 und 116: Kellerinhalt Restwort eine Rechtsab
Seite 117 und 118: 4.3.2 Fakt Es sei L ⊆ Σ ∗ . Da
Seite 119 und 120: Das heißt aber w ∈ L M ⇔ w ∈
Seite 121 und 122: Sei nun k > 1. Der Ableitungsbaum f
Seite 123 und 124: 4.5.1 Definition Ein deterministisc
Seite 125 und 126: 4.5.6 Lemma Wenn M ein DPDA ist, da
Seite 127 und 128: 4.6.2 Satz Die Klasse L 2 ist nicht
Seite 129 und 130: Gegeben Frage Methode kontextfreie
Seite 131 und 132: B 1 A 1 A 2 A 3 B 2 A 4 B 3 B 4 A 5
Seite 133 und 134: Anhang A b-äre und b-adische Zahld
Seite 135 und 136: Definition. Wenn a k−1 · · · a
Seite 137 und 138: 1. Fall: a k−1 = · · · = a 0 =
Seite 139 und 140: n b = 10 b = 5 b = 4 b = 3 b = 2 b
Seite 141 und 142: Korollar. Für jedes b ≥ 1 ist di
Seite 143 und 144: (ii) (α) Wenn φ eine alF ist, dan
Seite 145 und 146: (A 0 ) b(A 1 ) b(A 2 ) val b ((A 0
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(iii) die Einschränkung: nur die d
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x x d(T ) = −1 z y u z d(T ) = 1
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(i) B ⊆ M. (ii) Wenn a 1 , . . .
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5 1 9 2 3 4 7 5 3 entsprechen die W
Seite 155 und 156:
I.Ann.: i ≥ 0, Γ i R (B) ⊆ Γ
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Anhang C Mathematische Grundlagen 1
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