Inhaltsverzeichnis - Automaten und Formale Sprachen

1.6.1 Satz Es gibt effiziente (d. h. Polynomialzeit-)Algorithmen, die folgende Probleme
lösen: Zu einem vorgelegtem Automaten M = (Q, Σ, q 0 , F , δ) entscheide, ob
(a) L M = ∅ (für NFA M),
(b) |L M | < ∞ (für NFA M),
(c) L M = Σ ∗ (für DFA M).
Zu DFA’s M 1 und M 2 entscheide ob
(d) L M1 ⊆ L M2 ,
(e) L M1 = L M2 .
Beweis Wir formulieren die Algorithmen alle in der graphentheoretischen Sprache, stellen
uns also vor, dass ein Automat M als Graph G M gegeben ist. Beachte, dass die Tabelle
(das |Q|×|Σ|-Array mit Einträgen aus f(Q) (für NFA’s) bzw. aus Q (für DFA’s)) für δ im
wesentlichen in seinen Zeilen die Adjazenzlisten für G M enthält, einschließlich der Kantenmarkierungen.
Es ist fair, als Eingabegröße für diesen Graphen |δ| := |Q|+Σ q∈Q,a∈Σ |δ(q, a)|
anzusetzen, das ist die Summe aus Knoten- und Kantenzahl in G M .
(a) Offenbar ist L M ≠ ∅ genau dann, wenn es in G M überhaupt einen Weg von v q0 zu
einem v q mit q ∈ F gibt (ohne auf die Kantenmarkierungen zu achten). Dies lässt sich
z. B. durch einen einfachen Markierungsalgorithmus feststellen. Der Zeitbedarf hierfür ist
O(|δ|).
(b) Wir überlegen zunächst, dass |L M | = ∞ ist genau dann, wenn es in G M einen Weg
von v q0 zu einem v q mit q ∈ F gibt, der einen Kreis enthält. [ ⇒: Ist |L ” M | = ∞, so
existiert x ∈ L M mit |x| ≥ |Q|. Die Existenz eines akzeptierenden Weges, der einen
Knoten zweimal benutzt, also einen Kreis enthält, folgt wie in 1.4.1. ⇐“: Gibt es einen
”
Weg von v q0 zu v q , q ∈ F, mit einem Kreis, so besitzt nach dem Argument von 1.4.1 L
eine unendliche Teilmenge der Form {uv i w | i ∈ IN}, mit |v| ≥ 1 also ist L unendlich.]
Algorithmus
1. Konstruiere die Umkehrung von G M :
←
GM:=
(
{v q | q ∈ Q}, {(v q , v q ′) | (v q ′, v q ) Kante in G M }
2. Mittels eines Markierungsalgorithmus in ← GM, startend von {v q | q ∈ F }, ermittle
die Menge
V ′ = {v q ′ | ∃ Weg in ← GM von v q nach v q ′ für ein q ∈ F }
( = {v q ′ | ∃ Weg in G M von v q ′ nach v q für ein q ∈ F } ).
3. Bilde G ′ := Einschränkung von G M auf V ′ .
Falls V q0 ∉ V ′ , stoppe mit der Antwort ”
endlich“.
4. Ein geschickter Graphalgorithmus, genannt ”
erweiterte Tiefensuche in G ′ “, vom
Knoten v q0 startend, erlaubt es festzustellen, ob von v q0 aus ein gerichteter Kreis in
G ′ erreichbar ist. Falls dies so ist, wird ”
∞“ ausgegeben, sonst ”
endlich“.
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)
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