Inhaltsverzeichnis - Automaten und Formale Sprachen

Damit ergibt sich mit Definition 1.7.6:
˜Q = { {0, 4, 8}, {1, 5, 6}, {2, 3, 7} } ,
Σ = {a, b},
˜q 0 = {0, 4, 8},
˜F = { {0, 4, 8}, {1, 5, 6} } ;
die Übergangsfunktion ˜δ ist durch folgenden Graphen gegeben:
a
Start
0,4,8
a
b
1,5,6
a
b
2,3,7
b
Man bemerkt, daß kein Konflikt entsteht: Für jede Klasse [q] ∈ ˜Q ist [q] ⊆ F oder
[q] ∩ F = ∅ und es gilt stets q ∼ q ′ ⇒ δ(q, c) = δ(q ′ , c) für c ∈ Σ. Daß dies kein Zufall ist,
wird gleich gezeigt.
1.7.8 Satz Sei M ein DFA ohne überflüssige Zustände; sei ˜M zu M wie in 1.7.6
definiert. Dann gilt:
(a) Wenn q ∼ q ′ , dann gilt q ∈ F ⇔ q ′ ∈ F .
D. h. für jedes q ∈ Q ist [q] ⊆ F oder [q] ∩ F = ∅.
(b) ˜δ ist wohldefiniert;
(c)
˜M ist DFA;
(d) L M = L ˜M;
(e) Unter allen DFA’s M ′ mit L M ′ = L M hat ˜M die minimale Zahl von Zuständen.
Beweis (a) Sei q ∼ q ′ . Nach Def. 1.7.4 gilt q ′ = δ(q ′ , ε) ∈ F genau dann wenn q =
δ(q, ε) ∈ F . (b) Wohldefiniertheit bedeutet, daß die Definition von ˜δ, die formal auf
einen Repräsentanten einer Äquivalenzklasse bezogen ist, nur von der Klasse, nicht vom
Repräsentanten abhängt. Sei dazu a ∈ Σ, q ′ ∈ [q] beliebig. Zu zeigen ist: [δ(q, a)] =
[δ(q ′ , a)], d. h. δ(q, a) ∼ δ(q ′ , a). Tatsächlich gilt für alle w ∈ Σ ∗ :
weil q ∼ q ′ . Also gilt für alle w ∈ Σ ∗ :
δ(q, aw) ∈ F ⇔ δ(q ′ , aw) ∈ F,
δ(δ(q, a), w) ∈ F ⇔ δ(δ(q ′ , a), w) ∈ F,
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