Inhaltsverzeichnis - Automaten und Formale Sprachen

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Dann können wir durch leichte Modifikation der ganzzahligen Division mit Rest schreiben n = q · b + r für ein q ∈ IN und ein r mit 1 ≤ r ≤ b, für eindeutig bestimmte q ∈ IN und 1 ≤ r ≤ b. (Wenn die gewöhnliche ganzzahlige Division n = q ′ · b + r ′ für q ′ ∈ IN und ein r ′ mit 0 ≤ r ′ und (q, r) := (q ′ , r ′ ) sonst.) Man sieht leicht ein, daß q = ⌊(n − 1)/b⌋ < n und r = n − qb gilt. Wir können also die Induktionsvoraussetzung E(q) anwenden. Diese besagt, daß q eine eindeutig bestimmte b-adische Darstellung c l−1 · · · c 1 c 0 ∈ ∆ ∗ b besitzt: q = ∑ 0≤i
Korollar. Für jedes b ≥ 1 ist die Abbildung b-adic : IN ∋ n ↦→ a k−1 · · · a 1 a 0 ∈ {1, 2, . . . , b} ∗ , wo a k−1 · · · a 1 a 0 die b-adische Darstellung von n ist, eine Bijektion. Ihre Umkehrung ist die Abbildung [ · ] b . Übungsaufgaben. Aufgabe 1. Man beschreibe, wie man aus der b-adischen Darstellung a k−1 · · · a 1 a 0 einer Zahl n und der b-adischen Darstellung c l−1 · · · c 1 c 0 einer Zahl m die b-adische Darstellung von m + n berechnen kann. (Hinweis: Man modifiziere die Schulmethode für die b-äre Addition.) Aufgabe 2. Es sei b ≥ 2. Man beschreibe, wie man aus der b-ären Darstellung a k−1 · · · a 1 a 0 ∈ {0, 1, . . . , b − 1} + einer Zahl n die b-adische Darstellung c l−1 · · · c 1 c 0 ∈ {1, 2, · · · , b} ∗ derselben Zahl berechnen kann und umgekehrt. Kann ein Mealy-Automat, der die Ziffern in der Reihenfolge a 0 , a 1 , . . . , a k−1 liest, diese Transformation durchführen? [Antwort: Es sei a k−1 · · · a 1 a 0 die b-äre Darstellung einer Zahl n. 1. Fall: k = 1 und a 0 = 0. Dann ist die Ausgabe ε. 2. Fall: k = 1 und a 0 > 0. Dann ist die Ausgabe c 0 = a 0 . 3. Fall: k ≥ 2 und a k−1 = 1. Dann addiere man mit der Methode aus Aufgabe 1 die Darstellungen a k−2 · · · a 1 a 0 und (b − 1)(b − 1) · · · (b − 1)b (k − 1 Ziffern). 3. Fall: k ≥ 2 und a k−1 > 1. Dann addiere man mit der Methode aus Aufgabe 1 die Darstellungen (a k−1 − 1)a k−2 · · · a 1 a 0 und (b − 1)(b − 1) · · · (b − 1)b (k − 1 Ziffern). Man kann sich überlegen daß ein Mealy-Automat diese Aufgabe ausführen kann, aber nur, wenn man die Ausgabe um ein Zeichen verzögert und nach a 0 , a 1 , . . . , a k−1 ein zusätzliches Ende-Zeichen eingegeben wird.] Aufgabe 3. Es sei b ≥ 1. Wir definieren A k := 1+b+b 2 +· · ·+b k−1 . (Für b ≥ 2 ist A k = (b k −1)/(b−1); für b = 1 ist A k = k.) Man zeige: (a) Die b-adische Darstellung von n hat genau k Ziffern ⇔ A k ≤ n < A k+1 , für alle k ∈ IN. (b) Wenn n bzw. m die b-adische Darstellung a k−1 · · · a 1 a 0 bzw. c k−1 · · · c 1 c 0 hat, dann gilt: n ≤ m ⇔ a k−1 · · · a 1 a 0 ≤ lex c k−1 · · · c 1 c 0 . (Dabei ist die lexikographische Anordnung ≤ lex auf Wörtern der Länge k wie gewöhnlich definiert.) (c) Man folgere aus (a) und (b): In der Folge (b-adic(n)) n∈IN ) finden sich die Wörter von ∆ ∗ b in kanonischer Reihenfolge. (d) Man folgere aus (a): Für b ≥ 2 und n ≥ 0 gilt: |b-adic(n)| = ⌊log b (n(b − 1) + 1)⌋. □ 139
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Inhaltsverzeichnis 0 Vorbemerkungen
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Kapitel 0 Vorbemerkungen 0.1 Grundb
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(c) Ein ASCII-File ist ein Wort üb
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werden als Beschreibungsform (Spezi
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Weiter sei L ∗ := ⋃ {L i | i
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sobald der letzte Buchstabe a n gel
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1.1.3 Beispiel Wir beschreiben eine
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Als graphische Darstellung des Auto
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1.1.8 Satz (a) Die Sprache ∅ ist
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(e) Nach Lemma 1.1.7 ist es möglic
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(b) Wir definieren ˆδ : Q × Σ
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aus v keine Kante mit Markierung a
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und, für B ∈ Q ′ , a ∈ Σ :
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Konkatenation: L 1 , L 2 → L 1 L
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1.3.3 Satz Ist M ein NFA, so gibt e
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L(i, k, k)L(k, k, k) ∗ L(k, j, k)
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Beispiel: ε 1 1 ε Start 0 ε 2 ε
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1.3.8 Satz Sei Σ ein Alphabet. Ist
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Abbildung 1.7: r = r 1 + r 2 : Aus
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( Aufpumpen“ heißt aus x = uvw d
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1.4.2 Behauptung Die folgenden Spra
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Für w = b 1 · · · b m ∈ Σ
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1.5.6 Definition Σ sei ein Alphabe
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1.6.1 Satz Es gibt effiziente (d. h
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1.7.2 Bemerkung (a) Zu M definieren
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Ist ∼ eine Äquivalenzrelation, s
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Damit ergibt sich mit Definition 1.
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Anmerkung: Wenn man etwas genauer h
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K 2 = Q − F = {2, 4, 7, 9} Markie
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{ } ˜F = {K i | K i ⊆ F } = {0,
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Tabelle für 〈4〉: q 3 5 a 6 〈
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Beispiele: (Die ” trivialen“ Ä
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Beweis ” ⇒“: L = L M für DFA
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wird gelesen als: ” α ′ ist au
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Also: V = {S, /c, $, A, B, C}, Σ =
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(c) L 2 ist die Klasse aller Sprach
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Beweis ” ⇒“: Sei L = L M für
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M R : Start 0,1 0 0,1 C B A 0,1 M
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Wir zeigen: L(G) = {w ∈ Σ ∗ |
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S S S 0 1 S S 0 S 1 0 1 0 1 Die inn
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der nächste Ableitungsschritt ist.
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Beispiel: Das Wort 010101 besitzt i
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daß L(G) = L(G ′′ ). Man kann
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Um das einzusehen, betrachte man Ab
Seite 89 und 90: Dabei ist α(T A ) = α(T B )α(T C
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Seite 109 und 110: Die hier betrachteten Kellerautomat
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