Inhaltsverzeichnis - Automaten und Formale Sprachen

Es gibt nichtreguläre Sprachen, deren Nicht-Regularität sich nicht mit dem Pumping-
Lemma beweisen lässt. Zum Beipiel hat die Sprache
L = {z ∈ {0, 1} ∗ | z = 1 k für ein k ≥ 0 oder z = 0 j 1 k2 für j ≥ 1 und k ≥ 0
diese Eigenschaft. (Vgl. Buch von Wegener, S. 102, Bsp. 4.3.3.) Wir geben noch eine
allgemeinere Version an, die für manche solche Fälle doch noch eine Handhabe liefert. Die
Verwendung dieses Lemmas folgt demselben Schema wie oben formuliert.
1.4.3 Satz (Verallgemeinertes Pumping-Lemma für reguläre Sprachen) Ist
L regulär, so gibt es eine Zahl n ≥ 1, für die folgendes gilt: Ist x ∈ L, und ist x =
y 0 y 1 · · · y n y n+1 für y 0 , . . . , y n+1 ∈ Σ ∗ , wo |y 1 | , . . . , |y n | ≥ 1, so gibt es Zahlen 0 ≤ k < l ≤ n
derart dass für u := y 0 · · · y k , v := y k+1 · · · y l , w := y l+1 · · · y n+1 gilt: uv i w ∈ L für alle
i ≥ 0.
Beweis Analog zum Beweis von 1.4.1. □
1.5 Abschlusseigenschaften für reguläre Sprachen
Dieses kurze Kapitel behandelt Operationen, die aus regulären Sprachen wieder reguläre
Sprachen erzeugen. Wir fassen zusammen, was wir schon wissen.
1.5.1 Satz L reg , die Klasse der regulären Sprachen, enthält alle endlichen Sprachen und
ist abgeschlossen unter Durchschnitt, Vereinigung, Komplementbildung, Konkatenation
und Kleene-Abschluss.
Beweis Für Abgeschlossenheit unter Konkatenation (sind L 1 , L 2 regulär, so auch L 1 L 2 )
und Kleene-Abschluss (ist L regulär, so auch L ∗ ), siehe 1.3.7. Die anderen Eigenschaften
wurden in 1.1.8 bewiesen.
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Mitunter ist es günstig, reguläre Sprachen hierarchisch zu definieren. Ein primitives Beispiel
ist folgendes: Die Sprache aller Bezeichner kann man erhalten, indem man die Sprache
L 1 = L(B(B + Z) ∗ ) über dem Alphabet {B, Z} betrachtet, und dann in Wörter
dieser Sprache für jedes vorkommende B einen beliebigen Buchstaben und für jedes vorkommende
Z eine beliebige Ziffer einsetzt. Wir formalisieren und verallgemeinern diese
Konstruktion.
1.5.2 Definition Sei Σ = {a 1 , . . . , a n } und sei ∆ ein Alphabet. Eine Substitution ist
eine Funktion f : Σ → P(∆ ∗ ), d. h. f(a i ) ist eine Sprache über ∆, für 1 ≤ i ≤ n.
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