Inhaltsverzeichnis - Automaten und Formale Sprachen

1.7.14 Definition Ist M = (Q, Σ, q 0 , F, δ) DFA (ohne überflüssige Zustände), so definiere
∼ M auf Σ ∗ durch
w ∼ M w ′ falls δ(q 0 , w) = δ(q 0 , w ′ ).
1.7.15 Lemma Sei M DFA, sei L = L M . Dann gilt:
(a) ∼ M ist rechtsinvariante Äquivalenzrelation mit endlichen Index ind(∼ M ) = |Q|.
(b) ∼ M ist Verfeinerung von ∼ L , d. h.
Insbesondere gilt ind(∼ L ) ≤ ind(∼ M ) = |Q|.
w ∼ M w ′ ⇒ w ∼ L w ′ , für w, w ′ ∈ Σ ∗ .
Beweis (a) Daß ∼ M Äquivalenzrelation ist, rechnet man leicht nach. Wir überprüfen
die Rechtsinvarianz: Seien w, w ′ , z ∈ Σ ∗ , w ∼ M w ′ . Dann gilt δ(q 0 , wz) = δ(δ(q 0 , w), z) =
δ(δ(q 0 , w ′ ), z) = δ(q 0 , w ′ z), also wz ∼ M w ′ z. Weiter ist es nicht schwer zu sehen, dass die
Abbildung
Q ∋ q ↦→ {w ∈ Σ ∗ | δ(q 0 , w) = q}
die Menge Q bijektiv auf die Menge der Äquivalenzklassen von ∼ M abbildet, also gilt
|Q| = ind(∼ M ). (Wir verwenden hier, dass M keine überflüssigen Zustände hat.)
(b) Seien w, w ′ ∈ Σ ∗ , w ∼ M w ′ . Sei z ∈ Σ ∗ beliebig. Dann
gilt δ(q 0 , w) = δ(q 0 , w ′ ) nach Definition von ∼ M , also δ(q 0 , wz) = δ(q 0 , w ′ z), also
δ(q 0 , wz) ∈ F ⇔ δ(q 0 , w ′ z) ∈ F. Das heißt: wz ∈ L M ⇔ w ′ z ∈ L M . Damit ist gezeigt:
w ∼ LM w ′ . □
Wir greifen hier nochmals Beispiel 1.7.3 vom Anfang des Abschnitts auf. Den Zuständen
des Automaten sind die folgenden Äquivalenzklassen zugeordnet:
0 ↦→ L 0 = {w 1 · · · w r | r ≥ 0, w i ∈ L((0 + 1)0 ∗ 1(0 + 1) ∗ 1)},
1 ↦→ L 0 L(0 + (10 + ) ∗ ),
2 ↦→ L 0 L(10 ∗ (10 + ) ∗ ),
3 ↦→ L 0 L((0 + 1) + ),
4 ↦→ L 0 L(10 ∗ 1(0 + 1) ∗ ).
Offenbar ist L M die Vereinigung der Klassen zu Zustand 1 und Zustand 2 (das sind gerade
die akzeptierenden Zustände von M).
1.7.16 Satz (Myhill-Nerode)
Ist L ⊆ Σ ∗ , so ist L regulär genau dann wenn ind(∼ L ) < ∞.
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