Inhaltsverzeichnis - Automaten und Formale Sprachen

3.2.6 Satz (Chomsky-Normalform)
(a) Ist G = (V, Σ, S, P ) kontextfreie Grammatik, so gibt es eine kontextfreie Grammatik
G ′ = (V ′ , Σ, S, P ′ ) mit L(G ′ ) = L(G) − {ε}, derart daß P ′ nur Produktionen der Form
(∗ ∗ ∗)
{ A → BC mit A, B, C ∈ V ,
A → a mit A ∈ V, a ∈ Σ
hat. (Technisch: P ′ ⊆ V × (V 2 ∪ Σ).)
(b) Es gibt einen effizienten Algorithmus, der G ′ aus G berechnet.
Beweis Auf beliebiges G wenden wir zunächst 3.2.1 und 3.2.3 an. Daher können wir
o. B. d. A. annehmen, daß G nur Produktionen der Form (∗∗) aus 3.2.3 enthält. Wir eliminieren
die Regeln der Form A → B im wesentlichen in zwei Phasen.
Vorbereitung: Lasse alle Produktionen A → A, mit A ∈ V , weg. (Das ist harmlos.)
Phase 1: Betrachte die Produktionsmenge
P 1 := {(A, B) ∈ V 2 | A → B in P }.
Suche einen Kreis in P 1 , mittels eines geeigneten Graphalgorithmus. Falls kein Kreis gefunden
wird, gehe zu Phase 2. Falls ein Kreis
A 1 → A 2 → · · · → A r → A 1 , r ≥ 2,
in P 1 gefunden wurde, so ersetze in allen Produktionen in P , egal ob auf der linken
oder der rechten Seite, jede der Variablen A 2 , . . . , A r durch A 1 . (Kommt S im Kreis vor,
so ist o. B. d. A. S = A 1 .) Man überlegt sich leicht, daß sich die erzeugte Sprache nicht
ändert. Dafür werden Ableitungsfolgen aus Kettenregeln im Kreis kurzgeschlossen“ und
”
umgekehrt kurzgeschlossene“ Ableitungsschritte expandiert:
”
... ...
A 2
A 1
A 3
B
C
D
A 4
B
C
D
(vorher)
(nachher)
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