Inhaltsverzeichnis - Automaten und Formale Sprachen

Anhang A
b-äre und b-adische Zahldarstellung
Wir betrachten verschiedene Zahldarstellungen. Diese Untersuchungen liefern Beispiele
für Induktionsbeweise und sie liefern sehr natürliche Abzählungen für die Mengen Σ ∗ ,
wobei Σ ein beliebiges Alphabet ist. Der Inhalt dieses Kapitels ist nicht prüfungsrelevant.
A.1 Die b-äre Zahldarstellung
In diesem Abschnitt diskutieren wir die mathematischen Grundlagen für die Verwendung
der Zahldarstellungen zu verschiedenen Basiszahlen. Allgemein üblich und vertraut ist
die Dezimaldarstellung, das ist die Notation von Zahlen mit Ziffern 0, 1, 2, . . ., 9. In der
Informatik von zentraler Bedeutung ist die Binärdarstellung, d. h. die Darstellung von
Zahlen mit den Ziffern 0 und 1. Häufig verwendet wird auch die Oktaldarstellung (Ziffern
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) und die Hexadezimaldarstellung (Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,
9, A, B, C, D, E, F; dabei stehen A, . . . , F für 10, . . . , 15.) Weil man sich manchmal
die Binärdarstellung von Zahlen in Bytes oder Maschinenwörter zerlegt denkt, sind auch
Darstellungen zur Basis 2 8 = 256, 2 16 = 65536 oder 2 32 interessant.
Beispielsweise kann man die Zahl 467 ∈ N in Binärdarstellung als 111010011, in Oktaldarstellung
als 723 und in Hexadezimaldarstellung als 1D3 schreiben. Die Dezimaldarstellung
ist natürlich 467. (Auch wenn es etwas pedantisch erscheint, ist es günstig, für diesen Abschnitt
die Zahl n ∈ IN, die wir natürlich als Dezimalzahl (wie 467) notieren, von dem Wort
(wie 467) über dem Alphabet {0, 1, 2, . . ., 9} zu unterscheiden, das diese Zahl darstellt.)
Wir benutzen als Alphabete Mengen Σ b = {0, 1, . . . , b − 1} für b ≥ 2; für b ≤ 16 schreiben
wir die Ziffern in der Schreibmaschinentype 0, 1, 2, . . . . Für Zahlsysteme mit mehr als 16
Ziffern muß man andere Konventionen benutzen. Am einfachsten ist es, die Ziffern dezimal
zu notieren und die Wörter als k-Tupel mit Klammern und Kommas. (Z. B. hat die Zahl
300670126 zur Basis b = 100 die Darstellung (3,0,67,1,26). Alternativ könnte man die
Zifferndarstellungen in Begrenzer einschließen und etwa schreiben.)
Definition. Für b ≥ 2 und a k−1 · · · a 1 a 0 ∈ Σ + b
= {0, 1, . . . , b − 1}+ sei
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