Inhaltsverzeichnis - Automaten und Formale Sprachen

und füge B ′ in die Warteschlange ein.
Ausgabe: B.
Wie groß wird der von der Potenzmengenkonstruktion erzeugte DFA M ′ ? Grundsätzlich
gibt es nur die obere Schranke |Q ′ | = 2 |Q| . Lässt man überflüssige Zustände weg, wird
Q ′ u. U. kleiner. Jedoch zeigt es sich, dass in manchen Fällen der exponentielle Blow-up
unvermeidbar ist.
1.2.8 Beispiel Sei n ≥ 1 fest, und sei L = {0, 1} ∗ {0}{0, 1} n−1 , die Menge aller
Binärstrings der Länge mindestens n, die an der n-ten Stelle von rechts eine 0 haben. Ein
NFA für L mit n + 1 Zuständen sieht aus wie folgt:
0,1
Start
0 0,1 0,1...
0 1 2 n-1
0,1
n
Die pure Potenzmengenkonstruktion liefert einen DFA mit 2 n+1 Zuständen. Von diesen
sind 2 n nicht erreichbar, nämlich die B mit 0 /∈ B, wie man sich leicht überlegt. Durch
Weglassen dieser Zustände erhalten wir einen DFA mit 2 n Zuständen. Andererseits hat
jeder DFA M = (Q, Σ, q 0 , F, δ) mit L = L M mindestens 2 n Zustände. Dies sieht man
folgendermaßen ein: Angenommen, |Q| < 2 n . Dann existieren zwei verschiedene Wörter
a 1 · · · a n , b 1 · · · b n ∈ {0, 1} n mit δ(q 0 , a 1 · · · a n ) = δ(q 0 , b 1 · · · b n ). Wähle ein i mit a i ≠ b i ,
z. B. a i = 0 und b i = 1. Dann gilt a 1 · · · a i · · · a n 0 i−1 ∈ L und b 1 · · · b i · · · b n 0 i−1 ∉ L, also
Andererseits ist nach 1.1.2
ein Widerspruch.
δ(q 0 , a 1 · · · a n 0 i−1 ) ∈ F und δ(q 0 , b 1 · · · b n 0 i−1 ) ∉ F.
δ(q 0 , a 1 · · · a n 0 i−1 ) = δ(q 0 , b 1 · · · b n 0 i−1 ),
1.3 Reguläre Ausdrücke
Bisher haben wir Sprachen immer nur abstrakt oder durch zugehörige Maschinen beschrieben.
Reguläre Ausdrücke stellen eine andere Art dar, Sprachen zu spezifizieren. Reguläre
Ausdrücke formalisieren den folgenden induktiven Ansatz zur Konstruktion immer komplizierterer
Sprachen:
• Starte mit den ”
trivialen Sprachen“ ∅, {ε}, {a}, für a ∈ Σ;
• Wende die Operationen
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