Inhaltsverzeichnis - Automaten und Formale Sprachen

Dabei ist α(T A ) = α(T B )α(T C ) ≠ ε bzw. α(T A ) = α(T D ) ≠ ε. Die Unterbäume haben
geringere Tiefe als T A , also kann man die Induktionsvoraussetzung anwenden. Im zweiten
Fall ersetzen wir T D durch T D ′ . Im ersten Fall gibt es mehrere Möglichkeiten.
(i) Ist α(T B ), α(T C ) ≠ ε, ersetzen wir T B durch T B ′ und T C durch T C ′ .
(ii) Ist α(T B ) = ε, also B ∈ V ε , erhält der A-Knoten als einzigen Unterbaum den Baum
T ′ C .
(iii) Ist α(T C ) = ε, also C ∈ V ε , erhält der A-Knoten als einzigen Unterbaum den Baum
T ′ B .
(i)
A
A
(ii) A (iii)
T’ T’ T’ C T’
B C
C
B
B
C
=ε =ε
=ε
=ε
B
Nach Konstruktion von P ′ ist dies jeweils ein A-Ableitungsbaum in G ′ .
⊆“ Wir zeigen folgendes durch Induktion über die Tiefe r von A-Ableitungsbäumen,
”
A ∈ V , zur Grammatik G ′ :
Ist T A ′ ein A-Ableitungsbaum für G′ mit α(T A ′ ) = w ∈ Σ∗ , so existiert ein A-Ableitungsbaum
T A für G mit α(T A ) = w. Ist r = 1, so ist der Baum T A ′ selbst A-Ableitungsbaum
für G. Sei also nun r > 1. Dann hat T A ′ eine der folgenden Formen:
(i)
A
(ii)
A
B C
B
T’ T’ T’ B
B
C
w
Im Fall (i) ersetzt man T ′ B durch T B und T ′ C durch T C (diese Ableitungsbäume für G
existieren nach I. V.). Nun zum Fall (ii): Ist A → B Produktion in G, ersetzt man T ′ B
durch T B . Andernfalls gibt es, nach der Konstruktion von P ′ , ein C ∈ V ε , so daß entweder
A → BC oder A → CB Produktion in P ist. Wähle irgendeinen C-Ableitungsbaum T C,ε
für G mit α(T C,ε ) = ε. Dann können wir als T A folgenden Baum benutzen:
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