Lehrstuhl für Mathematik und ihre Didaktik Walter Olbricht, Doris ...
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26<br />
Hintergr<strong>und</strong>: χ²-Abstand<br />
Eine Multinomialverteilung ergibt sich, falls eine Anzahl n von Werten unabhängig voneinander in m<br />
Schubladen einsortiert werden, wobei die Wahrscheinlichkeit <strong>für</strong> die i-te Schublade gerade pi<br />
beträgt. Falls diese Wahrscheinlichkeiten bekannt sind, kann man die beobachteten (observed, „O“)<br />
<strong>und</strong> die erwartenen (expected, „E“) Anzahlen einander gegenüberstellen. Beispielsweise könnten sich<br />
<strong>für</strong> 60 Würfe mit einem Würfel folgende Resultate ergeben:<br />
Augenzahl 1 2 3 4 5 6<br />
Erwartet (E) 10 10 10 10 10 10<br />
Beobachtet (O) 9 8 16 17 6 4<br />
Mit dem χ²-Abstand kann man dann den Abstand der beobachteten Verteilung von der erwarteten Verteilung<br />
messen. Hierzu berechnet man:<br />
6<br />
2 ( Oi<br />
− Ei<br />
)<br />
∑ = 14.<br />
2 .<br />
i= 1 Ei<br />
Der χ²-Abstand ist also eine gewichtete quadratische Abstandssumme.<br />
Für unsere Situation bietet es sich an, <strong>für</strong> jedes Item die beiden χ²-Abstände zu zwei „extremen“ Multinomialverteilungen<br />
zu berechnen: Einerseits zum Optimum (das ist diejenige Verteilung, bei der 361<br />
Schüler die beste Antwort „stimmt vollständig“ <strong>und</strong> nur jeweils eine Person die restlichen vier Antwortmöglichkeiten<br />
– einschließlich „keine Angabe“ ankreuzte) <strong>und</strong> andererseits zum Antioptimum (das<br />
ist diejenige Verteilung, bei der 361 Schüler die schlechteste Antwort „stimmt gar nicht“ <strong>und</strong> nur jeweils<br />
eine Person die restlichen vier Antwortmöglichkeiten – einschließlich „keine Angabe“ ankreuzte.<br />
Dies liefert ein Koordinatenpaar, so dass man die einzelnen Items geometrisch in der Ebene darstellen<br />
kann. Items mit ähnlichem Antwortmuster werden in diesem Diagramm „nahe“ beieinander liegen.<br />
Im folgenden Diagramm sind die Items mit <strong>ihre</strong>r Nummer <strong>und</strong> die Skalen durch Farben codiert. Man<br />
kann auf diese Weise – natürlich unter Beachtung des eingeschränkten, weil verdichteten Informationsgehalts<br />
– viererlei gewinnen:<br />
• einen Eindruck von der Kohärenz der einzelnen Skalen<br />
• einen Eindruck von Verhältnis der Skalen zueinander<br />
• Vermutungen über die Zuordnung einzelner bislang nicht eindeutig zugeordneter Skalen oder<br />
Vorschläge <strong>für</strong> eine passendere Zuordnung abweichender Items<br />
• Hinweise darauf, welche Items bzw. Skalen besonders nahe am Optimum bzw. Antioptimum liegen<br />
<strong>und</strong> daher welche Dinge besonders gut bzw. schlecht bewertet wurden.
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