Guía Docente - Tinta Fresca

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15. Se puede construir un solo triángulo en a. y f.. Se pueden construir infinitos triángulos en b. y e. porque no se da la medida de ningún lado. No se puede construir el triángulo en c. (porque 5 = 2 + 3 y entonces no se verifica la propiedad triangular) y en d. (porque los tres ángulos no suman 180). Problemas 16 a 18 Nuevamente se intenta construir triángulos a partir de diferentes datos. En la puesta en común pregunte cuántos triángulos se pudieron construir y por qué. Analice que en los tres casos se puede construir uno solo y que en el problema 18 se obtiene un triángulo isósceles por tener dos ángulos iguales. Como además cada uno mide 45° y 45° + 45° = 90°, el ángulo restante tiene que medir 180° – 90° = 90°, por eso el triángulo es, además, rectángulo. 16. a. Construcción. b. No. porque queda definido un solo triángulo. 17. Se puede construir uno solo. 18. a. Construcción. b. Es un triángulo rectángulo, porque si dos ángulos miden 45° entonces el tercero mide 90° para completar los 180°. Problema 19 Antes de que comiencen a resolver el problema, recuerde que no se puede medir con regla, transportador ni otro instrumento de medición. Solicite que escriban la explicación de cada paso. En la puesta en común pida a un grupo que escriba la resolución con la explicación en el pizarrón para que la clase la discuta. Procure hacer pasar a aquellos grupos que en sus resoluciones tengan algo discutible, ya sea porque es un error o porque sea una idea original. Sin embargo, tenga cuidado de que los que expongan no sean alumnos que gocen del respeto “matemático” de sus compañeros, porque de esa forma se cierra la discusión en lugar de abrirse. La puesta en común es el momento del debate, de la confrontación y es usted el que tiene que procurar que esa discusión se genere. Finalmente, registre lo que hayan acordado. Por ejemplo: ● Como la figura ABCD es un cuadrado, las medidas de los lados ___ AB y ___ BC son iguales y, por lo tanto, el triángulo ABC es isósceles. Como el ángulo B ^ mide 90° y los otros dos son iguales, cada uno mide (180° – 90°) : 2 = 45°. ● En el rectángulo PQRS, como T es el punto medio de ___ PQ , __ PT mide 3 cm. Pero, además, ___ PR = 3 cm y P ^ = 90°, por lo tanto, el triángulo PTR es isósceles y rectángulo. Sus ángulos agudos miden 45° cada uno. Por otro lado, los ángulos PT ^ R y QT ^ R suman 180° y uno mide 45°, entonces el otro mide 180° – 45° = 135°. 24 19. AC ^ B = 45°, PR ^ T = 45°, RT ^ Q = 135°. Problema 20 Pida que resuelvan la parte a.. Es esperable que algunos alumnos marquen puntos a 2 cm de A, pero que no reconozcan que hay infinitos. En la puesta en común muestre cómo encontrar puntos a 2 cm de A. Luego recuerde la definición de circunferencia: Hay infinitos puntos que están a una distancia determinada del punto A. Estos puntos determinan una circunferencia cuyo centro es A y su radio la distancia que se consideró. Pida que resuelvan las partes b. y c. y luego registre las conclusiones: ● Todos los puntos que están a 1,5 cm de B forman una circunferencia con centro B y radio 1,5 cm. ● Los puntos que están a 2 cm de A y a 1,5 cm de B son los que están donde las dos circunferencias se cruzan. Esto se debe a que si pertenece a la circunferencia de centro A y radio 2 cm, están a 2 cm de A y si están en la circunferencia de centro B, están a 1,5 cm de B. 20. a. Circunferencia con centro en A y radio de 2 cm. b. Circunferencia de centro en B y radio de 1,5 cm. c. Son los dos puntos de intersección entre la circunferencia de centro en A y radio de 2 cm y la circunferencia de centro en B y radio de 1,5 cm. Problemas 21a 23 En la puesta en común pregunte cómo hicieron para encontrar 3 puntos que estén a la misma distancia de A y B. Luego de discutir las diferentes estrategias, registre la conclusión: ● Si se elige una distancia, por ejemplo, 3 cm, los puntos que están a 3 cm de A y de B son aquellos donde las dos circunferencias se cortan. Si se elige otra distancia, el procedimiento es el mismo y como hay infinitas distancias, habrá infinitos puntos a la misma distancia de A y B. Esos puntos forman una recta que pasa por el punto medio del segmento AB. A B A B El problema 22 es una aplicación del 21. Solo haga una puesta en común en caso de considerarlo necesario. El problema 23 permite reinvertir lo analizado en los anteriores. Antes de que lo resuelvan, pida que lean la definición del lateral y defina mediatriz como la recta que contiene a todos los puntos que están a la misma distancia de A y B. 21. a. y b. Hay que construir una circunferencia con centro en A con un radio que sea mayor que la mitad de la distancia entre A y B, y otra circunferencia con el mismo radio y con centro en B. Los puntos de intersección de las circunferencias están a la misma distancia de A que de B. Cambiando los radios se obtienen infinitos puntos a igual distancia de A que de B. © <strong>Tinta</strong> fresca ediciones S. A. | Prohibida su fotocopia. Ley 11.723
© <strong>Tinta</strong> fresca ediciones S. A. | Prohibida su fotocopia. Ley 11.723 22. Haciendo la misma construcción que en el problema 21 y uniendo los puntos con una línea. 23. Se procede como en los problemas anteriores. Problemas 24 y 25 Pida que resuelvan el problema 24. Insista en que las justificaciones en geometría no pueden ser desde lo perceptivo o visual, sino desde las propiedades. Por ejemplo: ● Si ABC es un triángulo isósceles no equilátero y ___ AB es el lado distinto, entonces ___ AC = ___ BC por lo tanto C está a la misma distancia de A que de B y entonces está en la mediatriz de ___ AB . ● En un triángulo equilátero, cualquier vértice está a la misma distancia que los otros dos y, entonces, está en la mediatriz del segmento opuesto. Para el problema 25 pida que luego del debate registren: ● Cada diagonal de un cuadrado lo divide en dos triángulos isósceles. Por ejemplo, la diagonal ___ DB define los triángulos ADB y DBC. Luego, la mediatriz del segmento DB pasa por los puntos A y C, ya que se encuentran a la misma distancia de ellos. ● La diagonal de un rectángulo no necesariamente lo divide en dos triángulos isósceles, por eso la mediatriz no pasa siempre por el vértice opuesto. Si eso ocurriera, el rectángulo sería, además, un cuadrado. 24. a. Construcción. b. Sí, porque el vértice opuesto está a la misma distancia de los extremos. c. Sí, porque el vértice opuesto está a la misma distancia de los extremos. 25. a. Correcta. b. Falsa. Problemas 26 y 27 Pida que lean el problema 26 y explique lo que no les quede claro. Finalmente registre una lista de pasos que permitan dibujar la mediatriz de un segmento. Solicite luego que resuelvan el problemas 27. Haga una puesta en común sobre cómo debe ser la medida del segmento ___ AB para que haya uno, ninguno o dos puntos que estén a 3 cm de A y B. Registre las conclusiones: ● Para encontrar un punto que esté a 3 cm de A y de B pueden dibujarse dos circunferencias de radio 3 cm, una con centro en A y otra con centro en B. El o los puntos en común son los que están a 3 cm de cada punto. Las circunferencias pueden coincidir en 2 puntos, uno o ninguno, según la medida de ___ AB . P Si A B ___ AB mide 6 cm, hay un solo punto a 3 cm de A y de B y es el punto medio del segmento. A B Si ___ AB mide más de 6 cm, no hay ningún punto que esté a 3 cm de A y B. P A B Q Capítulo 2 Si ___ AB mide menos de 6 cm, hay dos puntos que están a 3 cm de A y B. 26. Producción personal. 27. a. Construcción. Dos puntos. b. 6 cm, porque las circunferencias se cruzan una sola vez. Problema 28 En la puesta en común destaque las siguientes conclusiones. Todos los puntos de esta recta están a la misma distancia de la fábrica y la escuela. Fábrica Escuela ● En un plano donde están representadas una fábrica y una escuela a través de puntos, los lugares que están a la misma distancia de ambos son los que están en la mediatriz del segmento que determinan los puntos. ● Los puntos que están a la izquierda de la recta están más cerca de la fábrica que de la escuela, mientras que los que están a la derecha de la mediatriz están más cerca de la escuela. 28. a. Construcción. b. Producción personal. c. Producción personal. d. Construcción. e. No, porque hay muchos puntos que cumplen esas características. f. Construcción. Respuestas a las actividades de integración 1. a. Construcción. b. No. c. Equilátero. 2. Se construye la mediatriz del segmento ___ AB . 3. Copiado. 4. Copiado. 5. a. Construcción. b. Sí. c. Sí, porque está en las 3 mediatrices. d. Trazar la circunferencia cuyo centro es la intersección de las mediatrices y que pasa por uno de los vértices. 6. a. Escaleno, obtusángulo. Escaleno acutángulo. No existe porque 115 + 75 es más que 180. Escaleno, obtusángulo. . b. Por ejemplo, se puede cambiar el ángulo de 75° por uno de 55°. 7. Copiado. 8. a. Construcción. b. Trazar un segmento ___ AB de 5 cm. Con vértice en A, trazar , con el transportador, un ángulo de 50° que tenga a AB por lado. Con vértice en B, trazar , con el transportador, un ángulo de 50° que tenga a BA por lado. Llamar C al punto dónde se intersecan los otros dos lados de los ángulos. c. 180 – 50 × 2 25
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