Problemas 83 a 88 El objetivo de estos problemas es que construyan la idea de densidad, es decir, que entre dos números racionales siempre se puede encontrar otro. Una consecuencia de esta propiedad es que, en el conjunto de los números racionales, no existe el siguiente de un número. Recuerde que los números racionales son todos los que pueden escribirse como una fracción o un decimal con una cantidad de cifras finita o infinita y periódica después de la coma, y que esto incluye los números enteros. Pida que resuelvan el problema 83. Es probable que los alumnos digan que no hay números entre 4,8 y 4,9. Sugiera que revisen los problemas de la página 54 y que escriban los números como fracciones. Por ejemplo: 4,8 = 48 __ = ___ 480 10 100 y 4,9 = 49 __ = ___ 490 . Entre ellos está ___ 481 , ___ 482 , etcétera. 10 100 100 100 Pregunte qué pasaría si el denominador fuera 1.000. Como parte de la puesta en común del ejercicio 84 proponga un debate sobre los dichos de Juan y Lazlo. En caso de ser necesario, diga números que invaliden los razonamientos de ambos. Por ejemplo, 2,501 y 2,50254 están entre 2,5 y 2,6 y no es posible encontrar el siguiente de 2,5. Luego de que resuelvan el problema 85, concluya que: ● Si se divide el intervalo que va de 3,4 a 3,5 en 10 partes iguales, cada una mide 0,01 (la décima parte de la distancia entre 3,4 y 3,5). Esto permite representar los números con dos cifras decimales del 3,41 al 3,49. ● Para ubicar el número 3,401 se necesitan 3 decimales, con lo que hay que tomar el intervalo entre 3,4 y 3,41 y dividirlo en 10 partes iguales. Cada una mide la décima parte de 0,01, o sea 0,001. La primera marca después de 3,4 es, entonces, 3,401. Finalmente, pida que resulevan los otros problemas, que permiten reinvertir lo hecho. 85. a. 64 83. Infinitos números. Por ejemplo, 4,81 o 4,8375. 84. Ninguno, no hay siguiente. 3,4 3,41 3,5 1 cm b. Sí, por ejemplo 3,4001. Hay infinitos números posibles. 86. a. Por ejemplo, 9,91. b. Hay infinitos. 87. Por ejemplo: 32,51; 32,52; 32,513 y 32,54102. Hay infinitos números. 88. a. 3,3 b. 2 c. 0 d. 12 e. 7,1 f. 78 Aprender con la calculadora El objetivo del uso de la calculadora es hacer cálculos en problemas donde hay que reflexionar, para lo que muchas veces es necesario ensayar con varios cálculos. La calculadora no se usa para hacer cuentas, sino para ensayar cálculos y, de esa manera, tener numerosos ejemplos sobre los cuales sacar conclusiones. Para que el uso de esta herramienta sea productivo, es fundamental que los cálculos y sus resultados se registren, además de la reflexión que provoquen y la conclusión final. Por ejemplo, el problema 15 requiere hacer cálculos que no entran en el visor de la calculadora, por lo que es necesario que los alumnos busquen formas de desarmar los números. Pida que resuelvan la actividad, y en la puesta en común solicite que cuenten cómo usaron la calculadora para encontrar los resultados de cada uno de los cálculos. Registre algunas de las estrategias en el pizarrón. Por ejemplo: ● 29.459,0125 + 2.345,08762 = 29.459 + 2.345 + 0,0125 + 0,08762 = 31.804 + 0,10012 = 31.804,10012. Es decir, en la calculadora se realizaron 29.459 + 2.345 por un lado y 0,0125 + 0,08762 por el otro. La última operación no requiere el uso de la calculadora. ● Observe que el ítem b. no da un número positivo. Si lo realiza en la calculadora que está en la computadora obtendrá un número negativo. Pregunte por qué consideran que esto ocurre y cuándo usarían números negativos. Tenga presente que hay números negativos que ellos ya conocen, como los de la línea de tiempo. ● 9.908,04 × 97.804,95 = 97.804,95 × 9.000 + 97.804,95 × 900 + 97.804,95 × 8 + 97.804,95 × 0,04 = 97.804,95 × 9 × 1.000 + 97.804,95 × 9 × 100 + 97.804,95 × 8 + 97.804,95 × 4 : 100. Observe que las cuentas que se hacen con la calculadora son las de multiplicar por 9, 8 o 4 que sí entran; las demás son sencillas de realizar a mano. 1. 0,2 = 0,1 + 0,1; 0,03 = 0,01 + 0,01 + 0,01; 0.004 = 0,001 + 0,001 + 0,001 + 0,001; 1,25 = 1 + 0,1 + 0,1 + 0,01 + 0,01 + 0,01 + 0,01 + 0,01. 2. 3,456 × 10 = 34,56; 34,56 : 100 = 0,3456; 0,3456 × 10.000 = 3.456. 3. 1,25 × 10 = 12,5; 12,5 – 0,5 = 12; 12 + 0,40 = 12,40. 4. 250 5. 0,0056 6. a. 50 b. 6,25 c. 25 d. 3,125 e. 12,5 f. 1,5625 7. a. 1 __ b. 2 1 __ c. 4 1 __ d. 8 1 __ 16 3 e. __ 16 15 f. __ 16 8. a. Por ejemplo, 1 : 10. b. Infinitos. c. Sí, las fracciones son equivalentes. 9. Hay infinitos cálculos posibles. Por ejemplo: 1 : 100 = 0,01; 1 : 1.000 = 0,001; 1 : 2 = 0,5. 10. 2,375; 2,275; 2,175; 2,075; 1,975; etcétera. 11. 30 veces. Llega a 0,05. 12. 6,75; 7,75; 6,25. 13. Producción personal. 14. a. Por ejemplo: 10.000. b. Por ejemplo: 2,00001. c. Depende de la cantidad de dígitos de la calculadora, pero es un número que empieza con 0,000111 y tiene tantos unos a la derecha como para completar el visor. 15. a. 0,10012 + 31.804 b. 12.445 + 2,4769 c. 969055356,8 d. 429.147.530,2 16. 9 veces. 17. Ninguna. 18. a. Sumar 0,01 o 0,02, por ejemplo. b. Sumar 0,1 hasta 3 veces, o restar 0,1 hasta 6 veces. c. Sumar 0,001. 19. : 10 20. × 10 © <strong>Tinta</strong> fresca ediciones S. A. | Prohibida su fotocopia. Ley 11.723
© <strong>Tinta</strong> fresca ediciones S. A. | Prohibida su fotocopia. Ley 11.723 Respuestas de actividades de integración 1. Hay infinitos. Por ejemplo, 8 : 10. 2. 25 __ y 2,5. 10 3. 25 : 10 o 3 : 4, etcétera. Hay muchas posibilidades. 4. a. 0,9 b. 0,47 c. 1,7 d. 0,015 5. a. i. 35 : 10 b. Sí. ii. 175 : 100 iii. 205 : 100 c. Son fracciones equivalentes. 6. a. 92 __ 10 d. 125 b. ___ 100 1.025 c. _____ 1.000 75 ___ 100 38 e. __ 10 5.003 f. _____ 1.000 7. a. 0,804 b. 5,901 c. 0,403 8. a. 0,03 b. 0,7 c. 0,025 d. 0,21 e. 0,009 f. 80,5 9. Las expresiones b., c. y d.. 10. Por ejemplo: 3.225 _____ ; 3 + ____ 225 2 ; 32 + 100 100 __ + ___ 5 10 100 . 11. a. 9,831 12. 35,125 b. 1,109 c. 4,114 d. 1,782 13. a. 8 enteros, 3 décimos y 1 milésimo. b. 12 enteros, 402 milésimos. c. 25 milésimos. d. 7 décimos, 5 centésimos. e. 4 enteros, 3 décimos y 2 centésimos. f. 53 enteros, 106 milésimos. 14. 0,045. 15. a., b., d., g., i.. 16. c., e., f. y h.. 17. a. 4 ___ 25 4 b. ___ 100 4 c. __ 50 Capítulo 7 4 d. ___ 125 18. Infinitas soluciones. Por ejemplo, 4,5 × 0,83. 19. a. 6 × 2; 3 × 4; 12 × 1. b. Por ejemplo, las respuestas de a. y 1 __ × 12; __ 5 × 12 4 48 __ , etcétera. 15 Hay infinitas soluciones. c. Por ejemplo, 2,5 × 4,8. Hay infinitas soluciones. 20. 627,5 km; 1.004 km. 21. a. $10,2 b. $25,5 c. 2,5 kg 22. $0,85 23. Hay que comprar 10 botellas. 24. $82,60 25. a. 56,25 b. 93,75 26. Gramos 5 200 250 600 1.500 3.250 Kilogramos 0,005 0,2 0,25 0,6 1,5 3,25 27. 3 centésimos. 28. 8 milésimos. 29. a. 12,8 b. 8,4 c. 1,24 d. 0,05 e. 2,84 f. 10 30. a. 120 b. 440 c. 1.080 d. 37,5 31. El a.. 32. 120,5 e. 36.800 f. 5,48 33. a. 4,8 b. 19,2 c. 28,8 d. 0,24 e. 0,024 f. 0,024 34. a. 27,2 b. 54,4 c. 27,2 d. 13,6 e. 108,8 f. 54,4 35. a. 34,25 b. 40 c. 100 d. 4 e. 6 f. 26 36. Las cuentas b. y d.. 37. a. 200 b. 4.000 c. 40 d. 6.000 e. 8 f. 1.500 38. a. < b. < c. > d. < 39. a. 10,15 m = 10 + 1 __ + ___ 5 10 100 4 b. 1 + __ c. 1 + + ____ 5 10 100 5 ___ 1 d. 100 __ + ___ 5 10 100 40. 4,023 m. 41. Los números b. y c.. 42. Hay infinitas posibilidades. Por ejemplo: 4 + 75 ___ 100 . 43. En el supermercado Noche. 44. Cantidad de personas 10 8 5 6 2 4 Leche necesaria (en litros) 45. $24 0,625 0,5 0,3125 0,375 0,125 0,25 46. a. A = 7,45; B = 7,48. b. A = 6,6; B = 6,75. 47. 4 __ o 0,8. 5 48. 3,105; 3 + 1 __ + ____ 34 8 = 3,44; 3,75; 3 + 10 100 __ + ____ 3 = 3,83; 3,9. 10 100 49. 9,75 65