Qualification de IONIC, instrument de recombinaison ...

tel-00010396, version 1 - 4 Oct 2005
4.7. ÉGALITÉ DES CHEMINS OPTIQUES 89
4.7.1 Dispersion
On ne considère dans cette partie que les effets chromatiques sans prendre en compte
l’état de polarisation de la lumière. La différence de phase entre les deux voies sera donnée
par :
φ(σ) = φ2 − φ1,
= 2πδ(σ − σ0) + ∆Φw(σ),
σ0 étant la fréquence centrale de la bande d’observation. Le premier terme correspond à la
modulation de chemin optique dans l’air, et le second à la phase apportée par la propagation
(4.4)
dans les guides. Un développement autour de la fréquence centrale σ0 donne pour ce dernier
l’expression suivante (Lagorceix, 1995) :
∆Φw(σ) = [β2(σ0)L2 − β1(σ0)L1]
�
dβ2
+
dσ L2 − dβ1
dσ L1
�
(σ − σ0)
�
d2β2 +
dσ2 L2 − d2 �
β1 (σ − σ0)
L1
dσ2 2
,
2
où βi et Li sont les constantes de propagation et longueurs de guide pour chacune des voies.
Les deux premiers termes, une constante et une variation linéaire de la différence de phase
en fonction de la fréquence ne nous intéressent pas ici car ils peuvent être compensés par la
ligne à retard dans l’air. Le troisième terme représente la courbure de la phase et va nous
permettre d’analyser la dispersion chromatique. Cette variation parabolique peut être écrite
de la façon suivante :
∆Φwp(σ) =
(4.5)
� �
d2β2 d2β2 ∆L +
dσ2 dσ2 − d2β1 dσ2 � �
(σ − σ0)
L1
2
, (4.6)
2
où ∆L = L2 − L1 correspond à la différence de longueur de guide que l’on veut déterminer.
La dispersion d’un matériau est quantifiée par le paramètre D (en ps/nm/km), dépendant de
la fréquence :
d 2 β(σ)
dσ 2 , (4.7)
D = dτ σ2
= −
dλ 2πc
où τ est le temps de groupe, τ = dβ/ dω, et ω = 2πcσ. En utilisant l’équation 4.7 dans
l’équation 4.6, on peut donc relier la courbure de la phase au paramètre de dispersion du
matériau et à la différence de longueur. On va ici considérer que D est le même dans les
deux voies. Cette hypothèse est valable du fait que l’on utilise des fibres venant d’un même
procédé d’étirage et que la proximité des guides dans le composant les rend homogènes (même
substrat et même processus de réalisation). Le seul terme non nul dans l’équation 4.6 est alors
celui dû à la différence de longueur géométrique:
� �2 σ − σ0
∆Φwp(σ) = −πcD∆L
. (4.8)
σ