Qualification de IONIC, instrument de recombinaison ...

tel-00010396, version 1 - 4 Oct 2005
34 - 3. OPTIQUE INTÉGRÉE
par les équations de Maxwell.
Avant de passer à cette description électromagnétique on peut encore utiliser une méthode
géométrique pour comprendre la notion de mode de propagation. Dans la partie précédente,
on avait considéré que tous les rayons arrivant avec une incidence inférieure à l’angle critique
pouvaient être guidés. Ici on va inclure la notion de phase à cette description purement
géométrique. Sur la figure 3.2 on a représenté deux chemins possibles (traits pleins) pour
l’onde se propageant dans un guide à saut d’indice. Les traits en pointillés représentent les
plans de phase associés, perpendiculaires aux trajectoires suivies. La notion de phase implique
l’existence d’interférences constructives entre ces plans de phase. La différence entre les phases
associées à chacun des chemins doit donc être un multiple de 2π :
� �
2πAP QB
+ 2φr −
λ
2πCD
= n × 2π avec n entier. (3.2)
λ
φr représente le déphasage subit par l’onde lors de la réflexion totale sur l’interface. Cette
nécessité d’interférences constructives et donc l’introduction d’un nombre entier dans l’équation
précédente entraîne une discrètisation des angles possibles (pour des valeurs données des
autres paramètres : a, nc, ng, λ).
3.1.3 Description modale : approche électromagnétique
L’invariance du guide considéré suivant les directions y et z perpendiculaires à x permet
de définir un champ se propageant dans la direction z de la façon suivante :
A(x,y,z) = A(x)exp[i(ωt − βz)], (3.3)
où A est un vecteur représentant aussi bien le champ électrique E que le champ magnétique
H, ω est la pulsation de l’onde, β est la constante de propagation associée au champ. Les
équations de Maxwell appliquées à ces champs en l’absence de charges permettent d’aboutir
à deux groupes de solutions de l’équation de propagation. La première est appelée transverse
électrique (TE) et seules les composantes des champs Ey, Hx et Hz sont non nulles. La
seconde est appelée transverse magnétique (TM) et n’implique que les composantes Hy, Ex
et Ez. Les équations de Maxwell se réduisent alors pour chacune des deux solutions à :
TE : ∂2 Ey
∂x 2 = −(k2 n 2 j − β 2 )Ey, (3.4)
TM : ∂2 Hy
∂x 2 = −(k2 n 2 j − β2 )Hy, (3.5)
où k = ω/c = 2π/λ est la constante de propagation d’une onde plane dans le vide, nj est
l’indice de réfraction de la couche considérée. Les solutions de ces équations donnent des
champs électromagnétiques oscillants lorsque β 2 < k 2 n 2 j , et évanescents lorsque β2 > k 2 n 2 j .
Dans le cas d’un guide planaire, la condition de guidage de mode va donc s’exprimer à
partir de la constante de propagation de la façon suivante :
kng ≤ β ≤ knc. (3.6)