Cartesio René des Cartes Magia Naturale

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03/07/2012 - 21.12 Cartesio René des Cartes Magia Naturale Nel caso delle tre o quattro rette il punto P descrive una conica mentre per 5 o 6 rette è una curva di terzo grado. Il grado della curva sale all’aumentare del numero delle rette. Descartes derivò l’equazione generica della conica e specificò le condizioni cui dovevano soddisfare i coefficienti perché la conica fosse una retta, una parabola, un’ellisse o un’iperbole. Per risolvere il problema (caso di 4 rette sviluppato nel Libro Primo) Descartes parte dal segmento di retta AB prendendolo come riferimento e chiamandolo x. Il segmento di retta CB è chiamato y ed è il segmento che si disegna a partire da una possibile posizione di C che taglia AB con un angolo dato. Il problema richiede di trovare il luogo di C al variare della posizione delle rette e quindi degli angoli che esse formano tra loro. Descartes mostra con considerazioni geometriche semplici come possono essere espresse le lunghezze delle altre linee che partono da C (e cioè CR, CQ e CS) in funzione di x ed y. Imponendo la condizione CP.CR = CS.CQ ottenne l’equazione di una conica generica nella forma di un’equazione algebrica di secondo grado in x e y del tipo: y2 = Ay + Bxy + Cx + Dx2 dove A, B, C e D sono semplici espressioni algebriche che discendono dalle quantità note. A questo punto Descartes osserva che se scegliamo un valore qualunque di x, otteniamo un'espressione quadratica che ci fornisce y e quindi con riga e compasso possiamo costruirla. Prendendo infiniti valori di x si ottengono infiniti valori di y e, di conseguenza un numero infinito di punti C. Il luogo di tutti Costruzione con riga e compasso (l'insieme dei due strumenti costituisce il compasso di Descartes) del luogo che discende dal Problema di Pappo nel caso di 4 rette. Inizio del Libro Secondo [Géométrie; 44; 305]. questi punti è rappresentato dall'equazione precedentemente riportata. Ma, dopo 22 pagine di conti (siamo al Libro Secondo), Descartes non ci fornisce il modo di tracciare il luogo ottenuto affermando: Pagina 44 di 102
03/07/2012 - 21.12 Cartesio René des Cartes Magia Naturale Non pretendo dire tutto. Ho spiegato come si trovano gli infiniti punti per i quali passa la retta, e con questo credo di aver detto abbastanza per descriverlo. Ed inoltre lascia in sospeso almeno un problema. Egli aveva infatti assunto solo valori positivi per la x e la y ma i valori che si ottengono dall'equazione trovata prevedono valori negativi. Ciò vuol dire che la curva trovata esiste anche, come diremmo oggi, in quadranti diversi dal primo. Descartes suppone però che il luogo si trovi nel primo quadrante accennando appena ad eventualità differenti. Il Secondo Libro della Géométrie ha per titolo "Sulla natura delle linee curve". In esso, oltre alla parte relativa al Problema di Pappo del quale ho già detto, vengono distinte le curve in geometriche e meccaniche (il corrispettivo di quelle che a partire da Leibniz saranno chiamate rispettivamente algebriche e trascendenti). Era stata la risoluzione del caso semplice del Problema di Pappo che aveva indotto Descartes a a sospendere una soluzione più generale per passare a discutere della natura delle curve. Infatti egli si era accorto che all'aumentare del numero delle rette, il luogo diventa una curva più complessa di una conica, cioè da una curva di grado superiore a due. Dopo aver assolto questa incombenza egli ritornerà sul problema di Pappo nel caso già discusso delle 5 rette. Il problema è qui l'ammissione dell'esistenza di curve anche se non è possibile disegnarle con riga e compasso, curve che nascono non tanto da mezzi meccanici ma dal ragionamento. Questo argomento viene concluso con l'affermazione che le curve geometriche sono quelle che possono essere scritte mediante un'unica equazione algebrica di grado finito in x ed y e che quindi possono essere costruite in modo continuo ottenendo un'infinità di punti (risulta qui implicitamente il concetto di funzione) ed in tale categoria vengono riconosciute curve come le coniche, la concoide di Nicomede e la cissoide di Diocle; sono invece curve meccaniche tutte le altre, come la spirale e la quadratrice di Ippia(11). Descartes si sofferma poi a catalogare le curve geometriche. La prima classe, quella più semplice, è formata da curve in x ed y di primo e secondo grado. Vi è qui l'affermazione, non dimostrata, che le sezioni coniche sono curve di secondo grado. La seconda classe di curve è quella costituita da equazioni di terzo e quarto grado; la terza classe è costituita da curve con equazioni di quinto e sesto grado; ... Il raggruppare due gradi per ogni classe partiva dalla convinzione, sbagliata, che fosse sempre possibile ridurre di un grado una data equazione (quando sia nota una radice x = a, mediante la divisione per x - a) come accadeva per quelle di quarto grado riducibili al terzo (queste elaborazioni si trovano discusse nel Terzo Libro). Nelle sue elaborazioni, Descartes introduce nuove curve come la parabola cubica (o cartesiana che è il luogo del Problema di Pappo nel caso particolare delle 5 rette delle quali quattro parallele ed una perpendicolare come da ultima figura) e gli ovali (di Descartes, molto utili in ottica dal punto di vista delle forme che devono assumere i corpi trasparenti per essere utili al miglioramento della vista; tali ovali sono ottenibili con il metodo che utilizzano i giardinieri per disegnare le aiuole - vedi figura seguente); si indica il procedimento generale per la costruzione dei più diversi problemi: intersezione di una circonferenza e una retta, di una circonferenza e una parabola, di una circonferenza e di una curva di grado maggiore e così di seguito; si studiano infine Pagina 45 di 102
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