Cartesio René des Cartes Magia Naturale

03/07/2012 - 21.12 Cartesio René des Cartes Magia Naturale
Non pretendo dire tutto. Ho spiegato come si trovano gli infiniti punti per i quali passa la retta, e
con questo credo di aver detto abbastanza per descriverlo.
Ed inoltre lascia in sospeso almeno un problema.
Egli aveva infatti assunto solo valori positivi per la x e la y ma i valori che si ottengono
dall'equazione trovata prevedono valori negativi.
Ciò vuol dire che la curva trovata esiste anche, come diremmo oggi, in quadranti diversi dal
primo.
Descartes suppone però che il luogo si trovi nel primo quadrante accennando appena ad
eventualità differenti.
Il Secondo Libro della Géométrie ha per titolo "Sulla natura delle linee curve".
In esso, oltre alla parte relativa al Problema di Pappo del quale ho già detto, vengono distinte le
curve in geometriche e meccaniche (il corrispettivo di quelle che a partire da Leibniz saranno
chiamate rispettivamente algebriche e trascendenti).
Era stata la risoluzione del caso semplice del Problema di Pappo che aveva indotto Descartes a a
sospendere una soluzione più generale per passare a discutere della natura delle curve.
Infatti egli si era accorto che all'aumentare del numero delle rette, il luogo diventa una curva più
complessa di una conica, cioè da una curva di grado superiore a due.
Dopo aver assolto questa incombenza egli ritornerà sul problema di Pappo nel caso già discusso
delle 5 rette.
Il problema è qui l'ammissione dell'esistenza di curve anche se non è possibile disegnarle con
riga e compasso, curve che nascono non tanto da mezzi meccanici ma dal ragionamento.
Questo argomento viene concluso con l'affermazione che le curve geometriche sono quelle che
possono essere scritte mediante un'unica equazione algebrica di grado finito in x ed y e che
quindi possono essere costruite in modo continuo ottenendo un'infinità di punti (risulta qui
implicitamente il concetto di funzione) ed in tale categoria vengono riconosciute curve come le
coniche, la concoide di Nicomede e la cissoide di Diocle; sono invece curve meccaniche tutte le
altre, come la spirale e la quadratrice di Ippia(11). Descartes si sofferma poi a catalogare le curve
geometriche.
La prima classe, quella più semplice, è formata da curve in x ed y di primo e secondo grado.
Vi è qui l'affermazione, non dimostrata, che le sezioni coniche sono curve di secondo grado.
La seconda classe di curve è quella costituita da equazioni di terzo e quarto grado; la terza classe
è costituita da curve con equazioni di quinto e sesto grado; ... Il raggruppare due gradi per ogni
classe partiva dalla convinzione, sbagliata, che fosse sempre possibile ridurre di un grado una
data equazione (quando sia nota una radice x = a, mediante la divisione per x - a) come accadeva
per quelle di quarto grado riducibili al terzo (queste elaborazioni si trovano discusse nel Terzo
Libro).
Nelle sue elaborazioni, Descartes introduce nuove curve come la parabola cubica (o cartesiana
che è il luogo del Problema di Pappo nel caso particolare delle 5 rette delle quali quattro
parallele ed una perpendicolare come da ultima figura) e gli ovali (di Descartes, molto utili in
ottica dal punto di vista delle forme che devono assumere i corpi trasparenti per essere utili al
miglioramento della vista; tali ovali sono ottenibili con il metodo che utilizzano i giardinieri per
disegnare le aiuole - vedi figura seguente); si indica il procedimento generale per la costruzione
dei più diversi problemi: intersezione di una circonferenza e una retta, di una circonferenza e
una parabola, di una circonferenza e di una curva di grado maggiore e così di seguito; si studiano
infine
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