Note de curs - Departamentul Automatica, Calculatoare si ...

Recuperarea din crash
⎡ I ⎤
Pentru a explica recuperarea aceasta, se definesc matricea A = ⎢ ⎥ si vectorul
⎣ F ⎦
⎡ D⎤
E = ⎢ ⎥ . Apoi se scrie ecuatia AD = E care în formǎ detaliatǎ apare ca
⎣ C ⎦
⎡ 1 0 0 0 ⎤
⎡ d1
⎤
⎢
⎥
⎢ ⎥
⎢
0 1 0 0
⎥
⎢
d
2 ⎥
⎢ ⎥ ⎡ d ⎤ ⎢ ⎥
1
⎢
⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ 0 0 0 1 ⎥ ⎢
d
2 ⎥ = ⎢ d
n ⎥
⎢ 1 1 1 1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ c ⎥
1
⎢
⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ 1 2 3 n ⎥ ⎣ d
n ⎦ ⎢ c2
⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢
⎥
⎢ ⎥
m−
1 m−
1
m−
1
⎢⎣
1 2 3 n ⎥⎦
⎢⎣
cm
⎥⎦
Se observǎ cǎ fiecare suport din sistem are o linie în matricea A si în vectorul E.
Dacǎ un dispozitiv esueazǎ esecul se materializeazǎ în relatia de mai sus prin
ignorarea/stergerea liniei care corespunde acelui dispozitiv. Rezultǎ o matrice
A’ si un vector E’ cu linii mai putine dar care verificǎ o ecuatie asemǎnǎtoare cu
cea de mai sus
A’D = E’
Dacǎ exact m dispozitive sunt inutilizabile atunci matricea A’ este o matrice
nxn. Deoarece matricea F este de tipul Vandermonde orice submultime de linii
ale ei este liniar independentǎ. Matricea A’ este, asadar, nesingularǎ si valorile
care compun vectorul D pot fi calculate din ecuatia matricialǎ de mai sus prin
eliminare Gauss. Prin urmare toate datele pot fi recuperate.
Cu D odatǎ obtinut, valorile oricǎrui suport cu date de verificare C i esuat pot fi
si ele reconstituite. Dacǎ sunt mai putin de m dispozitive cu probleme, alegerea
la întâmplare a unui numǎr de exact n linii din A’ permite eliminarea gaussianǎ
si continuarea este evidentǎ. Sistemul tolereazǎ pânǎ la m dispozitive
inutilizabile.
Aritmetica în câmpurile Galois
O preocupare majorǎ în algoritmul RS-RAID o constituie domeniul calculelor
care este o multime de cuvinte binare de lungime fixǎ w. Recuperarea dintr-o
eroare comisǎ obisnuit ar putea consta în efectuarea unor calcule modulo 2 w .
Maniera aceasta însǎ nu functioneazǎ deoarece împǎrtirea nu-i definitǎ pentru
orice pereche de elemente. De exemplu, 3:2 modulo 4 nu este definitǎ. Aceastǎ
situatie face eliminarea Gauss imposibilǎ în foarte multe cazuri.
Câmpurile cu 2 w elemente sunt câmpuri Galois – notate GF(2 w ) – un subiect
fundamental în algebra abstractǎ. Mai jos se definesc moduri eficiente de a
aduna, scǎdea, multiplica si împǎrti elemente apartinând unui câmp Galois.
112