Note de curs - Departamentul Automatica, Calculatoare si ...

pentru orice r = 1, 2, ..., N. Factorii e
− ϕ t
−
si 1 − e
ϕ t sunt probabilitǎti care se
asociazǎ, evident, manifestǎrii unei erori în intervalul (0, t), respectiv eliminǎrii
unei erori latente în acelasi interval. Cele douǎ probabilitǎti complementare
−
intervin într-o lege binomialǎ cu parametrii N si 1 − e
ϕ t .
Functia de reînnoire, media numǎrului de defectǎri în rǎstimpul (0, t), este
− ϕ
H( t) = N ( 1 − e t )
care are o variatie exponentialǎ. Modelul în discutie are o crestere exponentialǎ
a fiabilitǎtii. Densitatea de reînnoire este
dH( t)
− ϕ
h( t)
= = Nϕ
e t
dt
Se poate aprecia de asemenea comportarea statisticǎ a numǎrului de erori
remanente la momentul t dat de relatia N(t) = N – M(t), care are în vedere
numǎrul initial de erori si numǎrul de erori eliminate în urma aparitiei lor în
intervalul (0, t).
Din probabilitatea aparitiei a r erori în intervalul (0, t), a cǎrei expresie este datǎ
mai sus, se poate scrie imediat
k − ϕ t k − ϕ t N − k
Qk
( t) = P[ N ( t) = k] = CN
( e ) ( 1 − e )
o lege binomialǎ cu parametrii N si e
− ϕ t . Numǎrul mediu de erori remanente
este Ne
− ϕ t si probabilitatea ca toate erorile sǎ fie eliminate în intervalul (0, t)
este
− ϕ
Q t P N t e t N
0( ) = [ ( ) = 0] = ( 1 − )
Aceastǎ relatie permite calculul timpului de testare necesar pentru ca în mǎsura
datǎ de probabilitatea Q 0 sǎ putem afirma cǎ programul nu mai are nici o eroare
1 1
tQ
=
0
1
ϕ
ln
N
1 − Q0
De asemenea, se poate evalua timpul mediu necesar eliminǎrii tuturor erorilor
1 1 1
D = +
+ ... +
ϕ N ϕ ( N − 1)
ϕ
Dacǎ se estimeazǎ parametrii N si ϕ din observarea a n erori pânǎ la momentul
t, atunci se pot face aprecieri importante si interesante asupra comportǎrii
programului în continuare. Functia de fiabilitate pentru intervalul (t, t + x) este
exponentialǎ cu rata de defectare ϕ (N - n)
− ϕ ( N − n)
x
R( t, t + x)
= e
Dacǎ se impune o anumitǎ probabilitate de bunǎ functionare R, atunci durata x
corespunzǎtoare este
x = 1 1
R
ϕ ( N − n) ln R
si durata medie pânǎ la urmǎtoarea defectare este
1
m( t)
=
ϕ ( N − n)
53