Note de curs - Departamentul Automatica, Calculatoare si ...

modelul utilizat în proiectarea filtrului. Secventa inovatoare [ε(t)] si matricea ei
T
de covariatie S
ε
( t)
= M[
ε ( t)
ε ( t)]
sunt date de
ε ( t) = y( t) − h( t, z( t))
S ( t ) = H ( t ) T
M ( ε
t ) H ( t ) + Q ( v
t )
Dacǎ filtrul reflectǎ corect comportarea curentǎ a sistemului atunci secventa
inovatoare este o secventǎ aleatoare gaussianǎ independentǎ, cu media nulǎ si
covarianta datǎ de S ε (t). Dacǎ, dimpotrivǎ, din cauza fenomenelor nemodelate
apare o anomalie atunci parametrii statistici ai secventei [ε(t)] se modificǎ.
Pentru supraveghere pe baza unei astfel de secvente de inovare (de reziduale) se
poate utiliza testul obtinut prin raportarea secventialǎ a probabilitǎtilor.
Pentru fiecare componentǎ ε ι (t) se admit ipotezele alternative urmǎtoare:
Ipoteza H 0 : ε ι (t) este o secventǎ aleatoare gaussianǎ independentǎ de medie nulǎ
si de dispersie Sε ( t) i
;
Ipoteza H 1 : ε ι (t) este o secventǎ aleatoare gaussianǎ independentǎ de medie a ι (t)
nenulǎ si de dispersie Sε ( t) i
.
În formularea celor douǎ ipoteze alternative, Sε
( t) este componenta din pozitia
(i, i) a matricei de covariatie S ε (t), iar a ( t) = a Sε ( t)
cu a o constantǎ
adecvatǎ.
Testul raportului secvential al probabilitǎtilor este definit ca logaritmul functiei
de verosimilitate compusǎ
p( ε
i
( 1), ε
i
( 2),..., ε
i
( t) / H1)
li
= ln
p( ε ( 1), ε ( 2),..., ε ( t) / H )
i i i
Pentru o secventǎ aleatoare gaussianǎ independentǎ [ε ι (t)] functia din expresia
ultimǎ se poate evalua recursiv cu relatia
⎡ 1 ⎤
li ( t) = li ( t − 1) + a
i
( t)
− a
⎣
⎢
ε
2 ⎦
⎥
în care ε
i
( t) = ε
i
( t) / Sε
( t)
este o cantitate normalizatǎ de medie a si cu
i
dispersia 1 (o valoare tipicǎ pentru a este unitatea). Un test al semnului
constantei a se realizeazǎ prin schimbarea lui a în –a. O modificare a testului
pentru raportul secvential al probabilitǎtilor are forma
* ⎧ li
( t)
pentru li
( t)
≥ 0
li
( t)
= ⎨
⎩ 0 pentru li
( t)
< 0
Cu testul modificat decizia este definitǎ astfel:
• dacǎ l * ( t) > λ se retine ipoteza H 1
i
s
• dacǎ 0 ≤ l
* i
( t) ≤ λ
s se continuǎ cu o altǎ observatie.
Pragul λ s se alege conform unei conditii de timp mediu între alarme false
2 λ s
Tmediu
= ( e − λ − 1)
2 s
a
i
i
0
i
84