Note de curs - Departamentul Automatica, Calculatoare si ...

si
Pentru cazul general
∞
* * r f
h ( s) = ∑ [ f ( s)]
=
1 1 −
H
r =
*
∞
∑ 1
r = 1
( s)
=
*
f ( s)
*
s[ 1 − f ( s)]
* * * r − 1
h ( s) = f ( s)[ f ( s)]
=
*
( s)
*
f ( s)
f
1 −
*
( s)
*
f ( s)
*
* f1
( s)
H ( s)
=
*
s[ 1 − f ( s)]
care poate redeveni modelul procesului simplu prin substituirea functiilor
*
*
f ( t), f ( s)
în loc de f1( t), f1
( s)
.
În general
h( t) = f ( t) + h( t) ⊗ f ( t) = f ( t) + h( τ ) f ( t − τ ) dτ
1 1
relatie cunoscutǎ si ca ecuatia reînnoirii. În jurul momentului t se poate
produce prima reînnoire cu o probabilitate exprimatǎ de f 1 (t). Dacǎ reînnoirea
anterioarǎ s-a produs la momentul τ, o reînnoire de un ordin oarecare produsǎ în
jurul momentului t are sansa/probabilitatea de a se produce exprimatǎ de
integrala de convolutie.
Disponibilitatea sistemelor
Disponibilitatea se referǎ la sistemele cu reînnoire pentru care durata reînnoirii
înceteazǎ sǎ mai fie neglijabilǎ. Mai mult, este aleatoare si este ea însǎsi
descrisǎ de o functie de repartitie a timpului în care se realizeazǎ reînnoirea, de
o densitate de repartitie a duratei reînnoirii asociatǎ cu probabilitatea ca
sistemul sǎ fie pus în functiune în jurul momentului t. Probabilitatea punerii în
functiune în jurul acelui moment conditionatǎ de neîncheierea reînnoirii la acel
moment
f2( t)
z2( t)
=
1 − F2
( t)
produce un gen de ratǎ a punerilor în functiune a sistemului, similarǎ întrucâtva
cu rata de defectare definitǎ pentru intervalele în care sistemul este functional.
În mod analog se pot evalua media timpului de reînnoire, dispersia acestuia etc.
Un sistem de acest gen poate fi tratat cu metodele de la sistemele cu timp de
reînnoire neglijabil dar cu densitatea de repartitie a duratei de viatǎ diferitǎ pe
primul interval fatǎ de urmǎtoarele. Astfel, un sistem cu reînnoire integralǎ
devine un sistem cu reînnoire generalǎ punând pentru primul interval densitatea
de repartitie f 1 (t) si pentru urmǎtoarele f1( t) ⊗ f2( t)
s.a.m.d.
În domeniul Laplace, pentru momentele repunerii în functiune
t
∫
0
1
40