Note de curs - Departamentul Automatica, Calculatoare si ...

Tripletul (Ω, K, P) se numeste câmp (borelian) de probabilitate. Dacǎ Ω este o
multime finitǎ atunci (Ω, K, P) este un câmp de probabilitate discret.
Probabilitatea P are alte câteva proprietǎti derivate din cele trei de mai sus.
Probabilitatea evenimentului imposibil
P( ∅ ) = 0
Relatia dintre probabilitǎtile evenimentelor contrare
P( A)
= 1 − P(
A)
Probabilitatea evenimentului diferentǎ, A − B = A ∩ B
P( A − B) = P( A) − P( A ∩ B)
Limitele inferioarǎ si superioarǎ pentru functia P
0 ≤ P( A)
≤ 1
Probabilitatea evenimentului diferentǎ simetricǎ, A∆
B = ( A − B)
∪ ( B − A)
P( A∆ B) = P( A) + P( B) − 2P( A ∩ B)
Probabilitatea reuniunii a douǎ evenimente oarecare
P( A ∪ B) = P( A) + P( B) − P( A ∩ B)
O extindere a relatiei ultime pentru reuniunea a n evenimente oarecare este
n
n
⎛ ⎞
j + 1
P⎜
A i
⎟ = ∑ ( − 1) S
j cu S P A A j n
j
= ∑ (
i
∩ ... ∩
i
) ≤
1
j .
i1 , i2
,..., i j ≤ n
⎝ i=
1 ⎠ j = 1
F = este o familie numerabilǎ de evenimente mutual exclusive
A i
Dacǎ { }
i∈
I
⎛ ⎞
atunci P ⎜ A i
⎟ = 0 . Dacǎ familia F = { A i
}
i∈
I este si exhaustivǎ, adicǎ este un
⎝ i∈
I ⎠
⎛ ⎞
sistem complet de evenimente, atunci P ⎜ A i
⎟ = 1.
⎝ i∈
I ⎠
Probabilitǎti conditionate
Evenimentele se pot conditiona reciproc. Producerea unui eveniment poate
modifica probabilitatea de producere a unui alt eveniment. Relatia de bazǎ
pentru calculul unei probabilitǎti conditionate este
P B
( A)
= P(
A/
B)
= P(
A ∩ B) / P(
B)
cu evenimentul care conditioneazǎ trecut ca indice sau, în argument, dupǎ
caracterul despǎrtitor "/".
În general,
p( A / B) ≠ P( A)
si P( B / A) ≠ P( B)
ceea ce indicǎ o dependentǎ între cele douǎ evenimente. Dacǎ are loc egalitatea
în ambele cazuri, atunci evenimentele sunt independente.
Dacǎ probabilitatea unei intersectii finite de evenimente este nenulǎ
⎛ ⎞
⎜ n
P A i
⎟ ≠ 0
⎝ i=
1 ⎠
atunci probabilitatea respectivǎ se poate calcula cu formula
15