Note de curs - Departamentul Automatica, Calculatoare si ...

Numǎrul de defectǎri în intervalul (t, t + x) se distribuie binomial cu parametrii
N - n si ϕ
r − ϕ x r − ϕ x N − n − r
P[ M( t, t + x) = r] = CN
− n( 1 − e ) ( e )
Functia de reînnoire este
− ϕ
H( t, t + x) = ( N − n)( 1 − e x )
Numǎrul erorilor remanente la momentul t + x este k dacǎ în intervalul (t, t + x)
se produc si sunt remediate N – n – k erori si probabilitatea asociatǎ este
Q ( t + x)
= P[
N(
t + x)
= k]
= P[
M ( t,
t + x)
= N − n − k]
=
k
N − n−
k
− ϕ x N − n−
k − ϕ x k
= CN
− n
(1 − e ) ( e )
Durata de testare suplimentarǎ necesarǎ pentru a elimina toate erorile este
1 1
xQ
=
0
1
ϕ
ln
N − n
1 − Q0
si durata medie pânǎ la eliminarea tuturor erorilor este
1 1 1
D( t)
=
+
+ ... +
ϕ ( N − n) ϕ ( N − n − 1)
ϕ
Estimarea parametrilor N si ϕ se poate face pe baza observatiilor experimentale
asupra duratelor succesive de functionare între defectǎri, x 1
, x 2
,..., x n pânǎ la a
n-a. Pentru unul dintre intervale, densitatea de repartitie este
− ϕ ( N − k + 1)
x
f
k
( xk
/ N , ϕ ) = ϕ ( N − k + 1)
e
k
Densitatea de repartitie pentru vectorul observatiilor x , x ,..., este
1 2
x n
n
n − ∑ ϕ ( N − k + 1)
xk
n
k = 1
∏ 1
k = 1
f ( x , x ,..., x / N , ϕ ) = ϕ ( N − k + ) e
1 2
n
Logaritmul acestei functii este o functie de verosimilitate convenabilǎ pentru
maximizat
L( x , x ,..., x / N , ϕ ) = nlnϕ + ln( N − k + 1) − ϕ ( N − k + 1)
x
1 2
n
n
∑
k = 1 k = 1
Anularea derivatelor partiale conduce la un sistem de douǎ ecuatii cu
necunoscutele N si ϕ. Valorile rezultate N si ϕ sunt estimǎri prin metoda
verosimilitǎtii maxime ale parametrilor teoretici N si ϕ. Experienta aratǎ cǎ
estimatiile au tendinta de a fi infinit, respectiv zero, ceea ce este desigur
neconvenabil. În asemenea împrejurǎri experimentul se prelungeste.
Extinderi ale modelului Jelinski-Moranda
O primǎ extindere are în vedere rezolvarea la fiecare defectare nu a unei singure
erori ci a unei fractii date 1 – c, constantǎ, din numǎrul total de erori N. În
aceste conditii, numǎrul de erori remanente evolueazǎ dupǎ schema de mai jos
n
∑
k
54