Note de curs - Departamentul Automatica, Calculatoare si ...

proportionalǎ cu durata (scurtǎ) ∆t. Defectǎrile multiple în intervalul ∆t sunt în
aceste conditii practic excluse. Se poate scrie relatia de recurentǎ
2
2
Pr
( t + ∆ t)
= Pr
− 1(
t){
λ t + O[(
∆ t)
]} + Pr
( t){1
− λ t − O[(
∆ t)
]}
care prin trecere la limitǎ ( ∆ t → 0 ) conduce la
dPr
( t)
= − λ Pr
( t) + λ Pr
− 1( t)
dt
Aceasta este o ecuatie diferentialǎ care se integreazǎ dupǎ schimbarea de
− λ t
functie P ( t) = v ( t)
e cu rezultatul integrǎrii
r
r
r
( λ t)
− λ t
Pr
( t)
= e
r!
care este exact legea de repartitie Poisson, modelul adecvat pentru cel mai
simplu proces de reînnoire.
Media numǎrului de reînnoiri în intervalul (0, t) poartǎ numele de functie de
reînnoire
H(t) = M(N t ) = λ t
Se defineste de asemenea, densitatea de reînnoire
dH( t)
h( t)
= = λ
dt
si o dispersie a reînnoirilor
2 2 2
D( t) = M( Nt
) − H ( t) = ( λ t)
care este dependentǎ de timp.
Pentru sistemele cu uzurǎ evaluǎrile sunt mai complicate dar nu extrem de
complicate. Existǎ relatia
H( t) = ∫ z( t)
dt
0
care leagǎ functia de reînnoire de rata de defectare. Rezultǎ imediat cǎ h(t) =
z(t). Si pentru cǎ
1
H( t) = ln
R ( t )
pentru un interval (t 1 , t 2 ) se obtine
1 1 1
H( t1, t2) = H( t2) − H( t1) = ln − ln = ln
R ( t2 ) R ( t1 ) R ( t1 , t2
)
Cazul general cere efectuarea unei distinctii între tipurile de înlocuire (propriuzisǎ,
negativǎ sau pozitivǎ). Pentru a distinge între tipurile de reînnoire, pe baza
unor intervale între reînnoiri consecutive, uzual primele trei, se formuleazǎ o
ipotezǎ de nul de genul
H0: Ri − 1( x) = Ri ( x) = Ri
+ 1( x)
si alternativa
H : R ( x) > R ( x) > R ( x)
1 i − 1 i i + 1
t
38