Note de curs - Departamentul Automatica, Calculatoare si ...

face codarea cu cuvinte binare de lungime w > 1 cu operatiile de adunare si
înmultire modulo 2 w . În loc trebuie utilizat câmpul Galois corespunzǎtor.
Explicatiile relative la câmpurile Galois uzeazǎ de polinoamele într-o
nedeterminatǎ cu coeficienti în GF(2). Adicǎ, dacǎ r(x) = x + 1 si s(x) = x atunci
r(x) + s(x) = 1 doarece x + x = (1 + 1)x = 0x = 0. Mai mult, se pot lua polinoame
de acest gen modulo alte polinoame conform cu identitatea: dacǎ r(x) mod q(x)
= s(x), atunci s(x) este un polinom de grad inferior lui q(x) si r(x) = q(x)t(x) +
s(x) cu t(x) un polinom în x.
Dacǎ, de exemplu, r(x) = x 2 + x si q(x) = x 2 + 1 atunci r(x) mod q(x) = x + 1.
Fie acum q(x) un polinom primitiv de gradul w cu coeficienti în GF(2). Primitiv
înseamnǎ cǎ polinomul nu are divizori cu coeficienti în GF(2) si polinomul x
este generatorul câmpului GF(2 w ). Cum genereazǎ x câmpul Se considerǎ
initial elementele obligatorii 0, 1 si x si se continuǎ enumerarea elementelor
obtinute prin multiplicarea ultimului element cu x si retinerea rezultatului
modulo q(x). Enumerarea se încheie cu elementul pentru care rezultatul modulo
q(x) este egal cu 1.
Dacǎ, de exemplu, w = 2 si q(x) = x 2 + x + 1 atunci primele elemente sunt 0, 1 si
x, iar x 2 mod q(x) = x + 1 si cele patru elemente ale câmpului GF(4) sunt {0, 1,
x, x + 1}. Un al cincilea element nu existǎ deoarece x(x + 1) = x 2 + x care luat
modulo q(x) produce 1, element deja existent.
Câmpul general GF(2 w ) se construieste prin gǎsirea unui polinom primitiv q(x)
de gradul w peste GF(2) urmatǎ de enumerarea elementelor generate de x.
Adunarea si multiplicarea elementelor câmpului se fac dupǎ regulile adunǎrii si
multiplicǎrii polinoamelor cu grija de a lua totdeauna rezultatul modulo q(x).
Un asemenea câmp se mai scrie ca GF(2 w )= GF(2)[x]/q(x).
Acum, pentru a uza de un câmp GF(2 w ) în algoritmul RS-RAID este necesarǎ
definirea unei aplicatii a elementelor din acest câmp pe cuvinte binare de
lungime w. Un polinom r(x) din GF(2 w ) poate fi aplicat pe un cuvânt binar b de
lungime w prin punerea celui de al i-lea bit din b egal cu coeficientul puterii x i
din polinom. Pentru GF(4) = GF(2)[x]/x 2 + x + 1 se obtine tabelul urmǎtor
Elemente
generate
Elemente
polinomiale
Elemente binare
0 0 00 0
x 0 1 01 1
x 1 x 10 2
x 2 x + 1 11 3
Reprezentarea
zecimalǎ
Adunarea elementelor se realizeazǎ prin operatia SAU EXCLUSIV (XOR) bit
cu bit. Multiplicarea este mai complicatǎ: se iau elementele sub forma
polinomialǎ, se multiplicǎ ca polinoame si se ia rezultatul modulo q(x). Tabelele
de logaritmi ca acela de mai sus se bazeazǎ pe o tabelǎ de compunere ca aceea
datǎ pentru cazul GF(4).
114