Note de curs - Departamentul Automatica, Calculatoare si ...

Varianta aceasta a modelului Jelinski-Moranda este cunoscutǎ si sub denumirea
de varianta geometricǎ.
Existǎ si o variantǎ hibridǎ care are în vedere douǎ categorii de erori latente: o
primǎ categorie conformǎ modelului geometric, eliminate în schema geometricǎ
fractionar-constantǎ; o a doua categorie de erori cu incidentǎ poissonianǎ de
parametru λ (repartitia Poisson este repartitia pentru variabila aleatoare k
k
λ
discretǎ, P( k; λ )
k!
e − λ
= , cu λ > 0), care permit eventual reluarea programului
fǎrǎ remediere. Modelul Jelinski-Moranda hibrid este cu ratǎ a defectǎrilor
constantǎ între douǎ defectǎri succesive
k
z( t) = λ
k
= λ + c − 1 λ
0
t ∈ [ tk
− 1, tk
)
Dezvoltarea predictiilor este în bunǎ mǎsurǎ similarǎ celor expuse mai sus.
Modelele Goel-Okumoto (I) si Musa
Modelul Goel-Okumoto (versiunea I) compenseazǎ una din rigiditǎtile
modelului Jelinski-Moranda si a variantelor lui. Este vorba de ipoteza rezolvǎrii
obligatorii a unei (unor) erori la fiecare defectare. Acest model admite
continuarea executǎrii programului fǎrǎ remediere, remedierea însǎsi fiind un
eveniment care se poate produce cu o probabilitate precizatǎ p.
Procesul aleator al reînnoirilor nu mai coincide în acest caz cu acela al
eliminǎrii erorilor. Dacǎ P r (t) = P[M(t) = r] descrie procesul aleator al eliminǎrii
erorilor, adicǎ este probabilitatea eliminǎrii a r erori în intervalul (0, t), atunci
probabilitatea eliminǎrii celei de a k erori în intervalul (t, t + ∆t) este produsul
dintre probabilitatea ca eroarea k sǎ se manifeste în intervalul specificat, λ k ∆t,
cu λ
k
= ϕ ( N − k + 1 ) , si probabilitatea p ca acea eroare sǎ fie eliminatǎ cu
ocazia aparitiei ei.
Pentru r = 0 se poate scrie ecuatia cu diferente
P0 ( t + ∆ t) = P0 ( t)[ 1 − pϕ
N∆
t]
care prin trecere la limitǎ se transformǎ în ecuatia diferentialǎ
dP0
( t)
= − pϕ
NP0
( t)
dt
prin rezolvarea cǎreia, cu conditia initialǎ P 0 (0) = 1, se obtine
P ( t ) = −
e p ϕ Nt
0
Dacǎ pânǎ la momentul t s-au remediat r sau r – 1 erori, probabilitatea ca dupǎ
încǎ un interval scurt ∆t sǎ fie rezolvate (tot) r erori (r = 1, 2, ..., N – 1) este
aproximativ
Pr
( t + ∆ t)
≈ Pr
( t)[1
− pϕ
( N − r)
∆ t]
+ Pr
− 1(
t)
pϕ
( N − r + 1)
∆ t
De asemenea, probabilitatea ca pânǎ la t + ∆t sǎ se remedieze toate cele N erori
este
P ( t + ∆ t)
≈ P ( t)
+ P
− 1(
t)
pϕ
∆ t]
N
N
N
56