Note de curs - Departamentul Automatica, Calculatoare si ...

DFR – Decreasing Failure Rate – ratǎ de defectare descrescǎtoare
Aceste calificative sunt în relatia IFR ⇒ IFRA, DFR ⇒ DFRA. Implicatiile nu
sunt valabile si invers.
Demonstratie. Dacǎ un sistem este IFR atunci functia ln[1/R(t)] este convexǎ
t
′
″
1
⎛ 1 ⎞
⎛ 1 ⎞
ln = ( ) ln ( ) ⎜ ln ⎟ = ′(
) > 0
( )
∫ z u du ⇒ ⎜
⎟ = z t ⇒
z t
R t
( )
( )
0
⎝ R t ⎠
⎝ R t ⎠
derivata unei functii convexe pozitive care trece prin origine este crescǎtoare pe
intervalul (0, ∞) si atunci se poate afirma cǎ functia
1 1
ln − ln
R ( t ) R ( 0 )
t
este crescǎtoare pe acelasi interval. Acelasi mers al demonstratiei pentru DFR
tinând seama de concavitatea functiei ln[1/R(t)].
În ipoteza cǎ functia ln[1/R(t)] nu este derivabilǎ, de pildǎ în cazul sistemelor
cu ratǎ de defectare constantǎ pe portiuni, implicatiile de mai sus rǎmân
valabile.
Sistemele cu degradare sunt sisteme pentru care functia de fiabilitate relativǎ
la o utilizare de duratǎ x care începe la momentul t este mai micǎ decât functia
de fiabilitate pentru intervalul (0, x) oricare ar fi vârsta t si oricare ar fi durata x
R( t, t + x) < R( x), t,
x > 0
cu alte cuvinte, dupǎ utilizare un asemenea sistem este inferior unuia nou (NBU
– New Better than Used. Un sistem IFR este NBU dar nu totdeauna si invers
(exercitiu).
Se poate vorbi si de sisteme fǎrǎ degradare (NWU – New Worse than Used),
pentru care
R( t, t + x) > R( x), t,
x > 0
cu implicatia DFR ⇒ NWU dar nu si reciproc.
Asadar calitǎtile NBU (NWU) sunt mai generale decât IFR (DFR) si chiar decât
IFRA (DFRA). Ultima afirmatie se sustine prin demonstratia care urmeazǎ.
Prin definitie un sistem IFRA are functia ( 1/ t)ln( 1/ R ) crescǎtoare si, implicit,
1
[ 1/ R] / t 1
crescǎtoare si [ R( t)] / t
descrescǎtoare. Se poate scrie atunci
si apoi
1 1
t + x t
[ R( t + x)] < [ R( t)]
R( t, t + x) < [ R( t)] t
deoarece R(t, t + x) = R(t + x)/R(t).
Pentru un x ∈ [ 0 , t]
are loc
1 1
t
x
[ R( t)] ≤ [ R( x)]
si apoi, tinând seamǎ de relatia anterioarǎ, rezultǎ
1
.
x x
R( t, t + x) < [ R( x)] = R( x)
x
29