Note de curs - Departamentul Automatica, Calculatoare si ...

defectare. În cazul continuitǎtii variabilei, densitatea ei de repartitie este de
asemenea capabilǎ sǎ o descrie complet. Tabelul alǎturat contine un numǎr de
densitǎti de repartitie a duratei de viatǎ a sistemelor, foarte frecvent utilizate si
confirmate de practicǎ. Legile de repartitie cuprinse în tabel sunt departe de a fi
acoperitoare pentru toate situatiile practice posibile.
Aproximǎri ale functiilor densitate de repartitie prin exponentiale
Aproximarea este necesarǎ ori de câte ori nici una din densitǎtile de repartitie
consacrate nu se potriveste unei anumite experiente privind fiabilitatea unui
sistem. Aproximarea se poate realiza în trei moduri, conform modelelor în
serie, în paralel sau în triunghi.
Aproximarea serie constǎ într-o combinatie liniarǎ de exponentiale
n
f ( t) = ∑ ω
i = 1
n
cu coeficientii ω i îndeplinind conditia ∑ ω i
= 1, adicǎ combinatia liniarǎ este
i = 1
convexǎ.
Interpretarea fizicǎ a combinatiei este aceea a unui sistem cu mai multe moduri
de defectare, mutual incompatibile. Exemplele practice le furnizeazǎ sistemele
a cǎror defectare poate consta într-un scurtcircuit sau într-o întrerupere. Fiecare
din modalitǎtile de defectare respectǎ o lege probabilisticǎ exponentialǎ, are o
probabilitate de producere ω i si are un parametru λ i specific.
Aproximarea paralel are în vedere un timp de functionare pânǎ la defectare,
care se prezintǎ ca o sumǎ de durate aleatoare independente una de alta, fiecare
cu o lege exponentialǎ de parametru λ i. Compunerea densitǎtilor de repartitie a
douǎ din aceste durate statistic independente se face prin operatia de convolutie
i
λ
i
e
− λ it
fij ( t) = ( fi * f
j
)( t) = ∫ fi ( τ ) f
j
( t − τ ) dτ
operatie care se poate repeta prin adǎugarea altor functii pânǎ la completa lor
epuizare. Dacǎ se noteazǎ mai simplu functia rezultatǎ cu f(t) atunci, cu
transformarea Laplace, se obtine
n
λ
*
i
f ( s)
= L[
f ( t)]
= ∏
s λ
+ ∞
− ∞
i = 1 +
Dacǎ parametrii λ i sunt distincti atunci prin transformarea Laplace inversǎ se
obtine o combinatie liniarǎ de exponentiale asemǎnǎtoare celei de la
aproximarea serie. Dacǎ parametrii λ i sunt si cu repetitie se obtin repartitii Γ de
ordine întregi diferite. În cazul în care toti λ i au aceeasi valoare se obtine o
repartitie Γ unicǎ, de ordinul întreg n – 1.
Aproximarea triunghi se potriveste sistemelor care trec prin mai multe stǎri
intermediare (ca sistemele în paralel) dar nu trebuie sǎ le parcurgǎ obligatoriu
pe toate. Defectarea care scoate din functiune sistemul se poate produce în orice
i
32