Note de curs - Departamentul Automatica, Calculatoare si ...

PX
( I) = ∫ f
X
( x)
dx
I
si este o functie absolut continuǎ.
Functia f ( X
x ) este densitatea de probabilitate sau densitatea de repartitie a
variabilei X, este nenegativǎ pentru orice x si are proprietatea
∞
∫ f ( x ) dx = 1
X
− ∞
Functia care urmeazǎ se numeste functie de repartitie a variabilei aleatoare X
FX
( x) = P[ X ( ω ) < x] = PX
[( − ∞ , x)]
Functia este nedescrescǎtoare pe întreaga axǎ realǎ
a < b ⇒ FX
( a) ≤ FX
( b) ∀ a,
b ∈ R
si este continuǎ la stânga în fiecare punct
lim
FX
( x)
= FX
( a)
∀ a ∈ R
x → a,
x < a
Valorile minimǎ si maximǎ sunt date de
lim
lim
FX
( x)
= 0 FX
( x)
= 1
x → − ∞ x → ∞
Eventualele discontinuitǎti sunt de speta primǎ si sunt cel mult numerabile.
Orice functie cu proprietǎtile de mai sus are corespondent un câmp de
probabilitate.
Pentru o variabilǎ aleatoare discretǎ functia de repartitie este o functie în scarǎ
F ( x) = P ( x )
∑
X X i
xi
< x
Pentru o variabilǎ aleatoare continuǎ sunt valabile în general relatiile
x
d
FX ( x)
= ∫ f
X
( x)
dx,
f
X
( x)
= FX
( x)
dx
− ∞
Pentru orice interval [ a, b)
⊂ R
PX {[ a, b)} = FX ( b) − FX
( a)
si P ( X
a ) = 0
Se noteazǎ cu V(Ω, K, P) multimea tuturor variabilelor aleatoare definite pe
câmpul de probabilitate (Ω, K, P). Evident, existǎ foarte multe asemenea
variabile.
Dacǎ variabilele aleatoare X , Y ∈ V ( Ω , K,
P)
, atunci suma, produsul celor douǎ
variabile aleatoare, modulul, puterea, în general o functie mǎsurabilǎ Borel de
oricare dintre ele sunt variabile aleatoare din multimea V(Ω, K, P).
Dependenta a douǎ variabile aleatoare din aceeasi familie V(Ω, K, P) se poate
exprima printr-o formulǎ asemǎnǎtoare cu cea a probabilitǎtii conditionate a
evenimentelor:
P( X ∈ A / Y ∈ B) = P( X ∈ A, Y ∈ B) / P( Y ∈ B)
cu A ∈ K
X si B ∈ KY
. Într-o manierǎ asemǎnǎtoare se pot defini functii de
repartitie conditionate.
17