Note de curs - Departamentul Automatica, Calculatoare si ...

χ 2 calculatǎ sǎ fie sub valoarea corespunzǎtoare nivelului de semnificatie ales,
indicatǎ de tabele sau evaluatǎ direct.
Variabile aleatoare multidimensionale
Variabilele aleatoare din expunerea teoreticǎ sau din exemplele prezentate mai
sus au fost pânǎ acum simple, adicǎ a fost vorba în toate cazurile de o singurǎ
aplicatie X:Ω → R legatǎ de un unic câmp de probabilitate (Ω, K, P). Se pot
imagina variabile aleatoare cu mai multe componente, variabile sub forma unor
vectori cu componente aleatoare definite relativ la un acelasi câmp de
probabilitate sau la câmpuri de probabilitate diferite. Astfel legea urmǎtoare se
referǎ la o variabilǎ aleatoare vectorialǎ.
Legea normalǎ n-dimensionalǎ datǎ de densitatea de repartitie
1 T − 1
1
− ( x−
m)
W ( x−
m)
2
f ( x)
=
e
n
2
(2π
) detW
cu media m, un vector cu n componente, si cu matricea de covariatie W, o
matrice (nxn) pozitiv definitǎ. Pentru ca exemplul sǎ aibǎ consistenta necesarǎ
trebuie definitǎ mai exact matricea W.
Este de comentat în prealabil problema corelatiei a douǎ variabile aleatoare care
pot fi independente, caz în care valorile uneia nu influenteazǎ în nici un fel
valorile pe care le poate lua cealaltǎ, dar pot fi mai mult sau mai putin
dependente ceea ce înseamnǎ cǎ dacǎ una din variabile a luat o valoare atunci
legea de repartitie a celeilalte se modificǎ în functie de acea valoare a primei
variabile.
Fiind date douǎ variabile aleatoare x si y de medii nule, media produsului lor
M(xy) se numeste covariatie. Dacǎ covariatia este nulǎ se poate spune în
general cǎ cele douǎ variabile nu sunt corelate. Dimpotrivǎ, dacǎ M(xy) ≠ 0
variabilele sunt corelate, existǎ o corelatie între ele, existǎ o dependentǎ între
valorile pe care ele le iau în sensul arǎtat putin mai devreme. Dacǎ mediile sunt
diferite de zero, afirmatia si definitia se mentin pentru abaterile de la medie.
Întrucât covariatia M(xy) poate lua valori foarte diferite, pentru o apreciere
cantitativǎ mai riguroasǎ a tǎriei corelatiei se utilizeazǎ coeficientul de corelatie
M( xy)
ρ =
M( x
2 ) M( y
2 )
care ia valori în intervalul [–1, 1] si în expresia cǎruia se disting dispersiile
celor douǎ variabile, M(x 2 ) si M(y 2 ). O valoare pentru ρ apropiatǎ de extremele
intervalului indicǎ o corelatie strânsǎ, o valoare apropiatǎ de zero exprimǎ o
corelatie slabǎ.
Componentele unui vector aleator, privite ca variabile aleatoare simple sunt
mutual mai mult sau mai putin corelate. Se defineste ca matrice a covariatiilor
unui vector aleator x media produsului dintre vector si transpusul sǎu M(xx T ). Se
obtine o matrice pǎtratǎ simetricǎ care are pe diagonalǎ dispersiile individuale
23