GAZETA MATEMATIC˘A - SSMR

A. Reisner, Teorema Beatty, şiruri Wythoff, cuvântul Fibonacci 185Deducem atunci echivalenţa celor trei aserţiuni:a) N ∗ ( este reuniune ( ) disjunctă ( aluiE(a)şi E(b);1 1a ′ ) C = C = C 1 −a)1 )i.e.b bF[E(a)] = F[E(b)] = 1 −F[E(b)];b) a/∈Q,b/∈Qşi 1 a + 1 b =1Astfel teorema lui Beatty este demonstrată.Caz particular. Pentru a = ϕ = 1+√ 5[b=ϕ 2 ] teorema lui Beatty2arată că cele două submulţimi :E 0 = E(ϕ) ={[nϕ], n∈N ∗ }şi E 1 = E(ϕ 2 )={[nϕ 2 ],n∈N ∗ }formează opartiţie a mulţimii N ∗ . Aceste două submulţimi se numesc şirurilelui Wythoff :E 0 = {1, 3, 4, 6, 8, 9, 11, 12, 14, 16, 17, 19, 21, 22, 24, 25, 27, 29, 30, 32, 33,...};E 1 ={2,5,7,10, 13, 15, 18, 20, 23, 26, 28, 31, 34, 36, 39, 41, 44, 47, 49, 52,...}.Cuvântul caracteristic de pantă 1 ( ) ( )1 1ϕ 2 fiind C ϕ 2 = c 1 c 2 ...c n ...,Cϕ 2 == 0100101001001 ..., funcţia n ↦→ c n este funcţia caracteristică a submulţimiiE 1 = E ( ϕ 2) ⊂ N ∗ .Ne propunem să demonstrăm două proprietăţi interesante ale şirurilorlui Wythoff .III. Şirurile lui WythoffA. Şirurile lui Wythoff şi sistemul de numerotaţie al luiFibonacciŞirul lui Fibonacci este definit prin: F 0 =1,F 1 =2şi F n+1 = F n +F n+1 ,n>0.Avem teorema:Teorema 7 (Zeckendorf). Orice număr n ∈ N se scrie în mod unicsub forma n = ∑ n i F i , unde n i ∈{0,1}şi n i n i+1 =0,pentru orice întregi≥0i ≥ 0. Notaţia lui Fibonacci este Fib(n)=n k n k−1 ...n 0 .n∑n∑F 2p +1=F 2n+1 ; F 2p+1 +1=F 2n+2 .p=0Sistemul de numerotaţie al lui Fibonacci. -Sistemul de numerotaţie al lui Fibonacci este un caz particular al sistemuluide numerotaţie al lui Ostrowski (vezi [1]) sistem care are pentru bazănumitorii convergenţilor în dezvoltarea unui număr real în fracţii continue.p=1(∗)