GAZETA MATEMATIC˘A - SSMR

M. Olteanu, Asupra rafinării unor inegalităţi în tetraedru 201Conform teoremei 5, pag. 165, din [3], avem relaţia:HI 2 = R 2 +3r 2 − 1 (a 2 + b 2 + c 2 + l 2 + m 2 + n 2) ≥ 0. (6)12În continuare, din R ≥ 3r, rezultă 4R2 ≥ R 2 +3r 2 , iar din [8], pag.3630, se ştie că a 2 + b 2 + c 2 + l 2 + m 2 + n 2 ≥ 144r 2 .Egalităţile se ating numai dacă [ABCD] esteregulat.Având în vedere inegalitatea (5*), prin utilizarea ei – sub diferite forme– se pot rafina, prin trecere la clasa tetraedrelor ortocentrice, rezultatelestabilite în [7], pag. 471-478, [10] pag. 99-108, [9] pag. 203-207, [8] pag. 625-630, [2] pag. 35. În acest sens, prezentăm în continuare, sub formă sintetică,câteva dintre aceste noi rafinări ale inegalităţii Euler-Durrande, cu valabilitate– aşa cum am precizat – doar pentru clasa tetraedrelor ortocentrice.Enunţăm deci:Propoziţia 4. În orice tetraedru ortocentric [ABCD] au loc următoarelerafinări ale inegalităţii Euler-Durrande:a) 64r 2 ≤ h 2 a + h 2 b + h2 c + h 2 d ≤ m2 a + m 2 b + m2 c + m 2 d ≤≤ 16 (R 2 +3r 2) ≤ 6439 R2 .b) 16r ≤ h a + h b + h c + h d ≤ m a + m b + m c + m d ≤≤ √ 8 √R 2 +3r 2 ≤ 163 3 R.c)1r= 1 h a+ 1 h b+ 1 h c+ 1 h d≥ 1 m a+ 1 m b+ 1 m c+ 1 m d≥≥2 √ 3√R 2 +3r 2 ≥ 3 R .d) 48 · r2R ≤ 32√ 3r 2√R 2 +3r ≤ h2 a+ h2 b+ h2 c+ h2 d≤2 m a m b m c m d8√3·√R 2 +3r 2 ≤ 16R3 .e) 36r2R 2 ≤ 48r2R 2 +3r 2 ≤ h2 am 2 + h2 ba m 2 b+ h2 cm 2 c+ h2 dm 2 df) 8 √ 3r 3 ≤ V ≤ 2 √3r ( R 2 +3r 2) ≤ 8rR23 √ 3 .≤4.g) 4√ 23 R ≥ 2√ 2√ √ R 2 +3r 2 ≥r A +r B +r C +r D ≥4 √ 2r.3h) 8 9 R2 ≥ 2 (R 2 +3r 2) ≥rA 2 3+r2 B +r2 C +r2 D ≥8r2 .