GAZETA MATEMATIC˘A - SSMR

190 ArticoleÎn particular, oricare ar fi w m ∈Wşi oricare ar fi W n ∈B:W n (w m )∈B(a 2-a coloană a produsului W n W m )[ ( )]q − p pW n W m =p qşi, în final, se obţine – vezi observaţia precedentă – teorema 10.Mulţimea W înzestrată deoperaţia internă astfel definită:w n · w m = w n·m , unde n · m = nm + a n a m ,este un semigrup comutativ izomorf semigrupului (B, ×).IV. Cuvântul lui FibonacciConsiderăm aici alfabetul A = {0, 1}. Pentru noţiunile introduse aicivezi [4] capitolul 8 şi [5] capitolele I, II.Teorema 12. (A N ,d), unde d este definit prin d(u, u ′ )=0dacă u = u ′şi d(u, u ′ )=exp(−inf {n ∈ N,u n ≠u ′ n}) dacă u ≠ u ′ , este un spaţiu metriccompact, deci complet.Demonstraţie. Să demonstrăm că d este o distanţă ultrametrică i.e.o metrică verificând d(x, z) ≤ sup(d(x, y),d(x, z)) pentru orice x, y, z ∈A ∗ .d(x, y) =0dacăşi numai dacă x = y; d este simetrică. Să demonstrăminegalitatea ultrametrică . Presupunem cuvântul y diferit de cuvântul xpentru n ≥ i 0 şi de cuvântul z pentru n ≥ j 0 . Distingem două cazuri:i 0 ≠j 0 ;fiei 0