GAZETA MATEMATIC˘A - SSMR

216 Examene şi concursuriii) Inegalitatea de la începutul lucrării poate fi abordată deelevideclasa a VII-a. Propoziţia dată poate fi expusă laclasaaXI-a. Parteadindemonstraţie care foloseşte sume Riemann este un exerciţiu greu, pentruelevii din clasa a XII-a.iii) Demonstraţiile noastre sunt foarte concise. La clasă sugerăm o abordaremai explicită.EXAMENE ŞI CONCURSURIConcursul Naţional de ocupare a posturilor didactice dinmunicipiul Bucureşti, 15 iulie 2009Sorin Rădulescu 1) şi I. V. Maftei 2)EnunţuriSubiectul I1. Să searatecă ecuaţia x 2 + y 2 + z 2 =2xyz nu are soluţii în numerenaturale nenule.2. Fie două triunghiuri ABC şi A ′ B ′ C ′ care au acelaşi centru de greutate.Să se calculeze suma:−−→AA ′ + −−→AB ′ + −−→AC ′ + BA −−→ ′ + −−→BB ′ + −−→BC ′ + −−→CA ′ + −−→CB ′ + CC −−→ ′ .3. a) Definiţi probabilitatea condiţionată.b) Fie n ∈ N, n ≥ 4. Alegem patru numere distincte din mulţimea{1, 2,...,n}.Notăm cu p n probabilitatea ca aceste patru numere să formezeo progresie aritmetică curaţia strict pozitivă. Să se calculeze p n .Subiectul II1. Să se determine a ∈ R astfel încât G =[a, +∞) să fie parte stabilăaluiRîn raport cu legea de compoziţie x ∗ y = xy − 2x −[2y, cux, y ∈ R.2. Să se determine valoarea maximă afuncţiei f : 0, π ]→ R,2f (x)=sin 3 x·cos 5 x.3. Să se calculeze:∫1xdtlimx→∞ x 4+cost .01) Profesor, Liceul ,,Aurel Vlaicu“, Bucureşti2) Profesor, Colegiul Naţional ,,Sf. Sava“, Bucureşti