GAZETA MATEMATIC˘A - SSMR

Soluţiile problemelor propuse 239Soluţia autorului. Avem:f(x) =lnϕ(x)= g(x)x ,unde g(x) = ax +b x +c xpentru orice x>0şi trebuie să arătăm că f este concavă pe3(0, ∞). Se calculează imediat derivata a doua, f ′′ (x) = h(x) , unde avem:x 3h(x) =x 2 g ′′ (x) − 2xg ′ (x)+2g(x), ∀x>0.Evident, h se poate considera definită pe[0,∞) punând h(0) = 0, prin continuitate.Apoi, h este şi ea derivabilă, având derivata:h ′ (x) =x 2 g (3) (x) ≤ 0, ∀ x ≥ 0,dacă reuşim să arătăm că g are derivata a treia negativă pe[0,∞). Atunci s-ar obţineh(x) ≤ h(0) = 0 pentru x ≥ 0, deci şi f ′′ (x) ≤ 0pentrux>0, ceea ce trebuia demonstrat.Ne mai rămâne aşadar să dovedim că g (3) (x) ≤ 0 pentru orice x>0.În acest scop calculăm:g ′ (x) = ax ln a + b x ln b + c x ln ca x + b x + c xşi apoi:g ′′ (x) = (ln a − ln b)2 a x b x +(lna−ln c) 2 a x c x +(lnb−ln c) 2 b x c x(a x + b x + c x ) 2 ,pentru a ajunge în cele din urmă la:g (3) (x) =1[∑=(ln b − ln a) 3(a x +b x +c x ) 3 (a x − b x )+a x b x c x∑ ](ln a − ln b) 2 (ln a +lnb−2lnc) .Sumele se fac după toate permutările circulare ale literelor a, b, c, iar cea de a douasumă sedovedeşte a fi egală cu produsul:(2 ln c − ln a − ln b)(2 ln b − ln a − ln c)(2 ln a − ln b − ln c).Ipotezele asupra numerelor a, b, c arată că ultimii doi factori din acest produs sunt≥ 0, iar primul este ≤ 0. Împreună cufaptulcă:∑(ln b − ln a) 3 (a x − b x ) ≤ 0,pentru x>0 (evident), asta ne arată ceamdorit,adicănearatăcăg (3) (x) ≤ 0pentruorice x>0şi demonstraţia se încheie aici.Extindere şi generalizare dată deIlie Bulacu, Erhardt+Leimer Romania, PTS,Bucureşti.Fie a 1,a 2,...,a n numere reale pozitive astfel încât a 1 ≥ a 2 ≥ ...≥a n şi n ≥ 3.1. Dacă a 2 j ≤ a j−1a n pentru orice j ∈{2,3,...,n−1}, atunci funcţia f :(−∞, 0)→ R ∗ +definită prin:( axf(x)= 1 +a x 2 +...+a x )1xn ,npentru orice x