GAZETA MATEMATIC˘A - SSMR

224 Examene şi concursuri∀ x ∈ (0, ∞) şi deci:1limx→∞ x∫ xk xTf(t)dt =0. (5)Trecând la limităîn (3) şi ţinând seama de (5) avem:1limx→∞ x∫ x0∫k T ∫ Txkxf(t)dt = lim f(t)dt = f(t)dt · limx→∞ xx→∞ x .00k xŢinând seama de (2) va rezulta că limx→∞ x = 1 . Vom obţine:T1limx→∞ x∫ x0f(t)dt = 1 T∫ T0f(t)dt. (6)Revenind la problema propusă observăm că funcţia f : R → R, f (t) =1= este continuă şi periodică de perioadă T =2π.4+costAplicând (6) vom avea:I =∫1xlimx→∞ x0dt4+cost = 1 ∫ 2π2πTotul se reduce la calculul integralei I =Avem succesiv:∫ 2π0dt4+cost =∫π−π∫0dt4+cost =∫ π−πdtIntegrala definită J =4+cost0de variabilă x = 2arctgu şi vom obţine:şi:J =∫ ∞00dt4+cost . (7)∫ 2π0∫πdt4+cost +0dt4+cost .∫πdt4+cost =20dt4+cost .se calculează cuajutorulschimbării∫∞1 2·4+ 1−u2 1+u 2 du= 2du5+3u 2 = √ π151+u 2 0I = √ 2π = 2π√ 15.15 15