GAZETA MATEMATIC˘A - SSMR

234 ProblemeSOLUŢIILE PROBLEMELOR PROPUSE264. Fie n ∈ N ∗ şi V spaţiul vectorial al polinoamelor de grad cel mult n − 1 cucoeficienţi complecşi. Vom nota cu id aplicaţia identică aluiV şi pentru orice a ∈ C vomdesemna prin u a : V → V aplicaţia definită de egalitatea:u a(p(x)) = p(x + a).a) Să searatecămulţimea G = {u a} a∈C este un subgrup al grupului GL(V )(grupulautomorfismelor lui V ) izomorf cu grupul aditiv al numerelor complexe. Folosind acestrezultat, să se precizeze un subgrup al grupului GL n(C) (grupul matricelor inversabile cucoeficienţi în C) izomorf cu grupul aditiv C. Să se determine inversa unei matrici din acestsubgrup.b) Pentru a ∈ C −{0}, se consideră în V polinoamele:p 0(x) =1, p xx(x−a)·...·(x−(n−2)a)1(x)= ,..., pn−1(x)= .1! · a (n − 1)! · a n−1Să searatecă familia {p 0,p 1....,p n−1} constituie o bazăîn V şi să se scrie matriceaendomorfismului u a − id în raport cu această bază.c) Pentru k ∈ N, să se determine ker(u a − id) k şi im(u a − id) k .d) Fie a, b, α, β ∈ C. Săsearatecăurmătoarele afirmaţii sunt echivalente:(i) (αu a + βu b ) n = o;(ii) ker (αu a + βu b ) ≠ {0};(iii) α + β =0.Dan RaduSoluţia autorului. a) Fie α, β ∈ C şi p, q ∈ V ; atunci:u a (αp(x)+βq(x)) = αp(x + a)+βq(x + a) =αu a(p(x)) + βu a(q(x)),ceea ce arată cău a∈L C (V). Pentru a arăta că G este subgrup în GL(V ), să observăm căpentru orice a, b ∈ C avem:(u a ◦ u b )(p(x)) = u a (u b (p(x))) = u a(p(x + b)) = p(x + a + b) =u a+b (p(x))şi deci u a ◦ u b = a a+b ∈ G. Cum pe de altă parteu 0 = id, rezultă cău −1a =u −a ∈G,de unde, în baza criteriului subgrupului, conchidem că G este subgrup în GL(V ). Evident,izomorfismul dintre grupul aditiv C şi grupul G este realizat de aplicaţia ϕ : C → G, datăde egalitatea ϕ(a) =u a.Să considerăm în V baza canonică {e 0,e 1,e 2,...,e n−1}.Vomavea:u a(e 0(x)) = e 0(x + a) =1=e 0(x)u a(e 1(x)) = e 1(x + a) =a+x=ae 0(x)+e 1(x)..........................................u a(e n−1(x)) = e n−1(x) =(a+x) n−1 =a n−1 +Cn−1a 1 n−2 x+...+C n−1n−1 xn−1 ==a n−1 e 1(x)+Cn−1a 1 n−2 e 1(x)+...+C n−1n−1 +en−1(x).Urmează că matricea M a aluiu a în raport cu baza canonică vafi:⎛1 a ... a n−1 ⎞0 1 Cn−1a 1 n−2M a= ⎜⎝.⎟.. ⎠ .0 0 ... 1Uzând de izomorfismul GL(V ) ≃ GL n(C), rezultă căGva fi izomorf cu subgrupulM⊆GL n(C) constituit din toat matricile de forma M a, unde a parcurge pe C. Conchidemcă grupul aditiv C este izomorf cu grupul multiplicativ M = {M a} a∈C. Din raţionamentele