GAZETA MATEMATIC˘A - SSMR

S. Rădulescu şi I. V. Maftei, Concursul de ocupare a posturilor, 2009 223Mai facem precizarea că doar un număr redus de candidaţi au duscalculele până lacapăt.3. Pentru început vom demonstra următoarea:Teoremă. Fie f : R → R o funcţie continuă şi perodică de perioadăT>0. Atunci este adevărată următoarea egalitate:1limx→∞ x∫ x0f(t)dt = 1 T∫ T0f(t)dt.Demonstraţie. Să notăm cu F : R → R oprimitivă a funcţiei f şi cux+T ∫g funcţia g : R → R, g(x) = f(t)dt. Avem:de unde:1x∫ x0xg ′ (x) =(F(x+T)−F(x)) ′ = f(x + T ) − f(x) =0,∀x∈R.Deci funcţia g este constantă şi atunci oricare ar fi k ∈ Z, rezultă:(k+1)T∫kTf(t)dt =g(kT) =g(0),∫ T0f(t)dt, ∀ k ∈ Z. (1)Dacă x>0 rezultă că există un unic număr natural k x cu proprietatea:Atunci:⎛f(t)dt = 1 ⎜⎝x∫ T0∫f(t)dt +k x T ≤ x