GAZETA MATEMATIC˘A - SSMR

M. Olteanu, Asupra rafinării unor inegalităţi în tetraedru 197în orice tetraedru. Analog, cea de a treia inegalitate este echivalentă totcuh a h b h c h d ≥256r 4 .b) Se procedează ca la punctul a), unde se mai ţine seama de relaţiile1+ 1 + 1 + 1 = 2 r a r b r c r d r şi r ar b r c r d ≥ 16r 4 , valabile în orice tetraedru [ABCD].c) Avem h a + h b + h c + h d ≥ 16r; rezultă:1+ 1 + 1 + 1 4+≤ 1 h a h b h c h d h a + h b + h c + h d r + 1 4r = 5 4r ;a doua inegalitate rezultă imediat prin aplicarea lemei b), unde se considerăx = 1 , y = 1 , z = 1 , t = 1 .h a h b h c h dd) Deoarece r a + r b + r c + r d ≥ 8r, rezultă:1+ 1 + 1 + 1 4+≤ 2 r a r b r c r d r a + r b + r c + r d r + 1 2r = 5 2r ;tot prin aplicarea lemei b), în care se ia x = 1 r a, y = 1 r b, z = 1 r c, t = 1 r d,rezultă imediat cea de a doua inegalitate.Observaţii. 1. Toate cele patru puncte ale propoziţiei 1 rafineazăcunoscutele inegalităţi din geometria tetraedrului:⎧⎪⎨⎪⎩h a + h b + h c + h d ≥ 16r,r a + r b + r c + r d ≥ 8rh a h b h c h d ≥ 256r 4 ,r a r b r c r d ≥ 16r 4 .Menţionăm că rafinări ale inegalităţilor (∗) au fost recent abordate şiîn [2] (pag. 29-37).2. Deoarece m a ≥ h a (şi analoagele), m a + m b + m c + m d ≤ 16R şi√4 ha h b h c h d ≤ 4√ m a m b m c m d ≤ 1 4 (m a + m b + m c + m d ) ≤ 4R 3 ,3(∗)ţinând seama de inegalităţile a) şi c) ale propoziţiei 1, precum şi de relaţiile(23), (24), (25), (26) de la pag. 28 din [2], rezultă căaulocurmătoarelerafinări ale inegalităţii Euler-Durrande (R ≥ 3r) într-un tetraedru oarecare[ABCD]: ( ) 4Ra) 43 + r ≥ m a + m b + m c + m d +4r≥h a +h b +h c +h d +4r≥≥10 5 √2 · r ·≥5 4√ h a h b h c h d ≥5 5√ 4h a h b h c h d r≥(h a h b h c h d ) 2(h a + h b )(h b +h c )(h c +h d )(h d +h a ) ≥20r.