GAZETA MATEMATIC˘A - SSMR

V. Pop, Metoda etichetării binare în probleme de combinatorică 18110. Fie A = {a 1 ,a 2 ,...,a n } şi, pentru fiecare submulţime A i , definimvectorul său caracteristic v i =(x i1 ,x i2 ,...,x in ), unde x ij =1dacăa j ∈A i şix ij =0dacăa j ∉ A i , i = 1,m, j = 1,n.Observăm că vectorul caracteristical mulţimii A i1 ∆A i2 este suma modulo 2 a vectorilor V i1 şi V i2 .Considerăm numerele 0 şi 1 ca elemente ale corpului Z 2 , renotate ̂0 şi ̂1,iar vectorii v i ca elemente ale spaţiului vectorial Z n 2 ,careestespaţiu vectorialde dimensiune n peste corpul Z 2 . Problema astfel reformulată cere să arătămcă există vectorii caracteristici ̂v i1 , ̂v i2 ,...,̂v ik cu suma zero:̂v i1 + ̂v i2 + ...+̂v ik =(̂0,̂0,...,̂0).Având m > n vectori (caracteristici) într-un spaţiu vectorial de dimensiunen (Z n 2 ) rezultă că ei sunt liniar dependenţi. Există deci scalariiα 1 ,α 2 ,...,α m ∈{̂0,̂1}astfel ca:α 1̂v 1 + α 2̂v 2 + ...+α m̂v m =(̂0,̂0,...,̂0).Dacă în relaţia de mai sus nu mai scriem coeficienţii ̂0 şi rămân doarcoeficienţii egali cu ̂1, α i1 = α i2 = ...=α ik =̂1obţinem:̂v i1 + ̂v i2 + ...+̂v ik =(̂0,̂0,...,̂0),adică:A i1 ∆A i2 ∆ ...∆A ik =∅.11. Notăm cu L i ∈ {0,1} n vectorul caracteristic al mulţimii B i ,i = 1,m şi notăm cu M ∈M m,n ({0, 1}) matricea cu liniile L 1 ,L 2 ,...,L m .Matricea pătratică G = M · M t ∈M n (R) are pe diagonală numereimpareşiîn afara diagonalei numere pare (g ij = |B i ∩ B j |). Trecând la clasa modulo 2,în Z 2 matricea Ĝ este matricea unitate Îm cu determinantul nenul. G fiindmatricea Gram a vectorilor ̂L 1 , ̂L 2 ,...,̂L m rezultă că vectorii ̂L 1 , ̂L 2 ,...,̂L msunt liniar independenţi în Z n 2 şi atunci m ≤ n.Bibliografie[1] T. Andreescu, G. Dospinescu, Problems from the Bock, XYZ Press, 2008.[2] J. D. Beasley, The Mathematics of Games, Oxford Univ. Press, 1989.[3] M. Eigen, R. Winkler, Law of the Games, Princeton Univ. Press, 1981.[4] M. Kaitchik, Mathematical Recreations, W. W. Norton, 1942.[5] L. Babai, P. Frankl, Linear Algebra Methods in Combinatorics, Dep.Comput.Sci.Univ. Chicago, 1992.[6] B. Lindstrom, Another theorem of families of sets, Ars Combinatorica, 35(1993),123-124.[7] O. Pikhurko, Algebraic Methods in Combinatorics.